Ensino Médio ⇒ Trigonometria: equações trigonométricas Tópico resolvido

[Jonatancosta]

Olá, alguém pode me ajudar?

Resolva, no intervalo 0 [tex3]\leq x\leq 2\pi [/tex3], a equação sen ( x + [tex3]\frac{\pi }{6}[/tex3] ) + sen ( x - [tex3]\frac{\pi }{6}[/tex3] ) = [tex3]\frac{\sqrt{6}}{2}[/tex3].

Resposta: [tex3]\frac{\pi }{4}[/tex3] e [tex3]\frac{3\pi }{4}[/tex3]

Comecei fazendo o desenvolvimento, pela fórmula de adição de arcos e realizando as contas necessárias e travei em sen x = [tex3]\sqrt{2}[/tex3], ou seja, algo impossível...

Obrigado.

[Planck]

Olá, Jonatancosta.

Podemos fazer que:

[tex3]\begin{aligned}
& \sin \( x + \frac{\pi}{6} \) + \sin \( x - \frac{\pi}{6} \) = \frac{\sqrt 6}{2} \\
&\sin x \cos \frac{\pi}{6} + \sin \frac{\pi}{6} \cos x + \sin x \cos \frac{\pi}{6} - \sin \frac{\pi}{6} \cos x = \frac{\sqrt 6}{2} \\
&\sin x \frac{\sqrt 3}{2} + \sin x \frac{\sqrt 3}{2} = \frac{\sqrt 6}{2} \\
&\sqrt 3 \sin x = \frac{\sqrt 6}{2} \\
&\sin x = \frac{\sqrt 2}{2}
\end{aligned}[/tex3]

Portanto, os ângulos que possuem seno com esse valor serão dados por:

[tex3]x =\begin{cases}
\frac{\pi}{4} + 2 k \pi \\
\frac{3\pi}{4} + 2 k \pi
\end{cases}, ~k \in \mathbb Z[/tex3]

Considerando a restrição no domínio, ficamos com o conjunto solução [tex3]\text S= \left \{ \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}\right \}.[/tex3]

[Tassandro]

Jonatancosta,
Por Prostapherisis,
[tex3]\sin(x+\frac{π}{6})+\sin(x-\frac{π}{6})=2\sin x\cos\frac{π}{6}=\frac{\sqrt6}{2}\\
\implies \sin x=\frac{\sqrt6}{2}×\frac{2}{\sqrt3}×\frac{1}{2}=\frac{\sqrt2}{2}\therefore\boxed{ x=\frac{π}{4}\text{ ou }x=\frac{3π}{4}}[/tex3]

Espero ter ajudado!

[Jonatancosta]

Muito obrigado pela ajuda, foi de fato esclarecedor.