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Sendo [tex3]\sen x + \cos x = a,[/tex3] calcule [tex3]\tg^3 x + \cotg^3 x[/tex3]

Resolução
É dado que:
[tex3]sen x +cos x=a[/tex3]
[tex3](senx +cosx)^{2}=a^2[/tex3]
[tex3](senx)^{2}+(cosx)^{2}+2senx.cosx=a^2[/tex3]
[tex3]2senx.cosx=a^2-1 [/tex3]
[tex3]senx.cosx=\frac{a^2-1}{2}
[/tex3].......(1)
Sabemos,ainda,que:
[tex3]tgx +cotg x=secx.cossecx[/tex3]
Elevando a última expressão ao cubo:
[tex3](tgx+cotgx)^{3}=sec^3x.cossec^3 x[/tex3]
[tex3]tg^{3} x+cotg^3x +3(tgx.cotgx)(tgx+cotgx)=sec^3x.cossec^3x[/tex3]
Usando (1):
[tex3]tg^{3}x+cotg^3 x + 3(\frac{2}{ a^2 -1}) =(\frac{2}{a^2-1})^{3}[/tex3]
[tex3]tg^{3}x+ cotg^3 x=\frac{8}{(a^2-1)^3}-3(\frac{2}{ a^2-1})=\frac{8-6(a^2-1)^2}{(a^2-1)^3}[/tex3]