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Demonstre a desigualdade usando a definição precisa de limite.

[tex3]\lim_{x \rightarrow 2}(x^2-3x)=-2[/tex3]


Eu estou atento à ideia de que ao longo de um determinado trecho da demonstração, terei que chamar [tex3]|x-1|< C[/tex3], em que [tex3]C[/tex3] é uma constante qualquer, no entanto, não entendo como definir o valor ou a desigualdade da constante na demonstração em si. Há algum mecanismo para solucionar essa parte da demonstração? Se sim, qual?

polinomiais do tipo [tex3]x^2,x^3,...,x^n[/tex3] geralmente se resolvem colocando um teto no [tex3]C[/tex3].
O que interessa no limite são valores pequenos de [tex3]C[/tex3] então, por simplicidade, adotamos [tex3]C<1[/tex3] e para formalizar escrevemos:
[tex3]C = \min (1, f(\epsilon))[/tex3].
Onde [tex3]f(\epsilon)[/tex3] é uma expressão simples que encontramos que depende unicamente do [tex3]\epsilon[/tex3] escolhido.
No caso queremos mostrar que para todo [tex3]\epsilon >0[/tex3] existe um [tex3]C > 0[/tex3] tal que:
[tex3]|x-2|<C \implies |x^2-3x - (-2)| < \epsilon[/tex3]
primeiro note que [tex3]|x^2 - 3x +2| = |x-2||x-1|[/tex3] (não é coincidência que [tex3]x-2[/tex3] ficou em evidência)
vamos lá, colocando o [tex3]C<1[/tex3] temos:
[tex3]|x-2| < 1 \iff 1<x<3 \implies 0 < x-1 < 2[/tex3]
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[tex3]|x-2||x-1| < 2 |x-2| < \epsilon \iff |x-2| < \frac{\epsilon}2[/tex3]
então basta tomar [tex3]C = \min (1, \frac {\epsilon}2)[/tex3].
Agora verifique que essa escolha de [tex3]C[/tex3] de fato funciona para todo [tex3]\epsilon > 0[/tex3].
Chute valores de [tex3]\epsilon[/tex3] e verifique, por exemplo [tex3]\epsilon = 10[/tex3] ou [tex3]\epsilon = 3[/tex3] ou [tex3]\epsilon = 1[/tex3] ou [tex3]\epsilon = 0,001[/tex3]