Ensino Superior ⇒ (Cálculo II) Área de uma Placa Fina Tópico resolvido

[1marcus]

3) Em algumas aplicações na engenharia precisamos determinar a área de placas finas descritas por uma região no plano. Qual é a área da placa fina que cobre a região no primeiro quadrante pelo círculos [tex3]x^{2} + y^{2} = a^{2}[/tex3]

[Cardoso1979]

Observe

Modo 1:

Desenhe a circunferência x² + y² = a² centrada na origem de raio a no plano cartesiano, em seguida pinte a parte ( região ) da mesma no primeiro quadrante, pronto! Agora , basta analisar o desenho e extrair os dados que o mesmo lhe fornece.

Pelo gráfico ( ficará como exercício para você ) , temos que , os limites de integração de x é 0 ≤ x ≤ a, já para encontrar os limites de integração de y, procederemos da seguinte maneira:

x² + y² = a²

y = ± √( a² - x² )

Como a região está situada no primeiro quadrante, logo

y = √( a² - x² )

Assim, o intervalo de y é 0 ≤ y ≤ √( a² - x² ).


Então, a área da região a ser determinada será dada por:

[tex3]A=\int\limits_{0}^{a}\int\limits_{0}^{\sqrt{a^2-x^2}}dydx[/tex3]

[tex3]A=\int\limits_{0}^{a}[y]_{0}^{\sqrt{a^2-x^2}}dx[/tex3]

[tex3]A=\int\limits_{0}^{a}\sqrt{a^2-x^2}dx[/tex3]

Usando a substituição trigonométrica

x = a.sen(u) → dx = a.cos(u) du

Já que houve uma mudança de variável, então vamos mudar os limites de integração, vem;

Para x = a:

a = a.sen(u) → sen(u) = 1 → u = [tex3]\frac{π}{2}[/tex3]

Para x = 0:

0 = a.sen(u) → sen(u) = 0 → u = 0

Então,

[tex3]A=\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}\sqrt{a^2-[asen(u)]^2} \ acos (u)du[/tex3]

[tex3]A=\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}\sqrt{a^2-a^2sen^2(u)} \ acos (u)du[/tex3]

[tex3]A=\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}\sqrt{a^2.[1-sen^2(u)]} \ acos (u)du[/tex3]

[tex3]A=\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}\sqrt{a^2.cos^2(u)} \ acos (u)du[/tex3]

[tex3]A=\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}a.cos(u). \ a.cos (u)du[/tex3]

[tex3]A=a^2.\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}cos^2(u) \ du[/tex3]


Como cos (2u) = cos²(u) - sen²(u) = 2cos²(u) - 1 , ou seja , cos (2u) + 1 = 2cos²(u) → [tex3]cos^2(u)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos (2u)[/tex3].

Segue que

[tex3]A=a^2.\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}\left[\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos (2u)\right] \ du[/tex3]

[tex3]A=\frac{a^2}{2}.\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}\left[1+cos (2u)\right] \ du[/tex3]

[tex3]A=\frac{a^2}{2}.\left[u+\frac{sen (2u)}{2}\right]_{0}^{\frac{π}{2}}[/tex3]

[tex3]A=\frac{a^2}{2}.\left[\frac{π}{2}+\frac{sen (π)}{2}-0-\frac{sen (0)}{2}\right][/tex3]

[tex3]A=\frac{a^2}{2}.\left(\frac{π}{2}\right)[/tex3]

Portanto,

[tex3]A=\frac{a^2π}{4} \ u.a.[/tex3]





Modo 2:

Usando coordenadas polares, temos que

A circunferência x² + y² = a² em coordenadas polares é

[tex3]\rho^2cos^2(\theta )+\rho ^2sen^2(\theta )=a^2 [/tex3]

[tex3]\rho^2.[cos^2(\theta )+sen^2(\theta )]=a^2 [/tex3]

[tex3]\rho^2.[1]=a^2 [/tex3]

[tex3]\rho^2=a^2 [/tex3]

Logo,

[tex3]\rho =a[/tex3]

Então,

0 ≤ [tex3]\rho [/tex3] ≤ a


Por outro lado, como a região está situada no primeiro quadrante, logo , a variação do ângulo teta é [tex3]0 ≤ \theta ≤ \frac{π}{2}[/tex3]

Assim, a área pedida é dada por:

[tex3]A=\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}\int\limits_{0}^{a}\rho d\rho d\theta [/tex3]

[tex3]A=\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}[\frac{\rho ^2}{2}]_{0}^{a} d\theta [/tex3]

[tex3]A=\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}[\frac{a^2}{2}-\frac{0^2}{2}] d\theta [/tex3]

[tex3]A=\frac{a^2}{2}.\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}} d\theta [/tex3]

[tex3]A=\frac{a^2}{2}.\left[\theta \right]_{0}^{\frac{π}{2}}[/tex3]

[tex3]A=\frac{a^2}{2}.\left[\frac{π}{2}-0 \right][/tex3]

Portanto,

[tex3]A=\frac{a^2π}{4} \ u.a.[/tex3]


Bem mais simples!!!!!!!


Obs.

[tex3]x=\rho.cos(\theta ) [/tex3] ,

[tex3]y=\rho.sen(\theta ) [/tex3]

e

[tex3]dydx=\rho.d\rho d\theta [/tex3]


Uuuuuuufa!!! Pronto! Tem muita informação aí para quem for pesquisar sobre esta questão!


Bons estudos!

[1marcus]

Observe

Modo 1:

Desenhe a circunferência x² + y² = a² centrada na origem de raio a no plano cartesiano, em seguida pinte a parte ( região ) da mesma no primeiro quadrante, pronto! Agora , basta analisar o desenho e extrair os dados que o mesmo lhe fornece.

Pelo gráfico ( ficará como exercício para você ) , temos que , os limites de integração de x é 0 ≤ x ≤ a, já para encontrar os limites de integração de y, procederemos da seguinte maneira:

x² + y² = a²

y = ± √( a² - x² )

Como a região está situada no primeiro quadrante, logo

y = √( a² - x² )

Assim, o intervalo de y é 0 ≤ y ≤ √( a² - x² ).


Então, a área da região a ser determinada será dada por:

[tex3]A=\int\limits_{0}^{a}\int\limits_{0}^{\sqrt{a^2-x^2}}dydx[/tex3]

[tex3]A=\int\limits_{0}^{a}[y]_{0}^{\sqrt{a^2-x^2}}dx[/tex3]

[tex3]A=\int\limits_{0}^{a}\sqrt{a^2-x^2}dx[/tex3]

Usando a substituição trigonométrica

x = a.sen(u) → dx = a.cos(u) du

Já que houve uma mudança de variável, então vamos mudar os limites de integração, vem;

Para x = a:

a = a.sen(u) → sen(u) = 1 → u = [tex3]\frac{π}{2}[/tex3]

Para x = 0:

0 = a.sen(u) → sen(u) = 0 → u = 0

Então,

[tex3]A=\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}\sqrt{a^2-[asen(u)]^2} \ acos (u)du[/tex3]

[tex3]A=\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}\sqrt{a^2-a^2sen^2(u)} \ acos (u)du[/tex3]

[tex3]A=\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}\sqrt{a^2.[1-sen^2(u)]} \ acos (u)du[/tex3]

[tex3]A=\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}\sqrt{a^2.cos^2(u)} \ acos (u)du[/tex3]

[tex3]A=\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}a.cos(u). \ a.cos (u)du[/tex3]

[tex3]A=a^2.\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}cos^2(u) \ du[/tex3]


Como cos (2u) = cos²(u) - sen²(u) = 2cos²(u) - 1 , ou seja , cos (2u) + 1 = 2cos²(u) → [tex3]cos^2(u)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos (2u)[/tex3].

Segue que

[tex3]A=a^2.\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}\left[\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos (2u)\right] \ du[/tex3]

[tex3]A=\frac{a^2}{2}.\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}\left[1+cos (2u)\right] \ du[/tex3]

[tex3]A=\frac{a^2}{2}.\left[u+\frac{sen (2u)}{2}\right]_{0}^{\frac{π}{2}}[/tex3]

[tex3]A=\frac{a^2}{2}.\left[\frac{π}{2}+\frac{sen (π)}{2}-0-\frac{sen (0)}{2}\right][/tex3]

[tex3]A=\frac{a^2}{2}.\left(\frac{π}{2}\right)[/tex3]

Portanto,

[tex3]A=\frac{a^2π}{4} \ u.a.[/tex3]





Modo 2:

Usando coordenadas polares, temos que

A circunferência x² + y² = a² em coordenadas polares é

[tex3]\rho^2cos^2(\theta )+\rho ^2sen^2(\theta )=a^2 [/tex3]

[tex3]\rho^2.[cos^2(\theta )+sen^2(\theta )]=a^2 [/tex3]

[tex3]\rho^2.[1]=a^2 [/tex3]

[tex3]\rho^2=a^2 [/tex3]

Logo,

[tex3]\rho =a[/tex3]

Então,

0 ≤ [tex3]\rho [/tex3] ≤ a


Por outro lado, como a região está situada no primeiro quadrante, logo , a variação do ângulo teta é [tex3]0 ≤ \theta ≤ \frac{π}{2}[/tex3]

Assim, a área pedida é dada por:

[tex3]A=\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}\int\limits_{0}^{a}\rho d\rho d\theta [/tex3]

[tex3]A=\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}[\frac{\rho ^2}{2}]_{0}^{a} d\theta [/tex3]

[tex3]A=\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}[\frac{a^2}{2}-\frac{0^2}{2}] d\theta [/tex3]

[tex3]A=\frac{a^2}{2}.\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}} d\theta [/tex3]

[tex3]A=\frac{a^2}{2}.\left[\theta \right]_{0}^{\frac{π}{2}}[/tex3]

[tex3]A=\frac{a^2}{2}.\left[\frac{π}{2}-0 \right][/tex3]

Portanto,

[tex3]A=\frac{a^2π}{4} \ u.a.[/tex3]


Bem mais simples!!!!!!!


Obs.

[tex3]x=\rho.cos(\theta ) [/tex3] ,

[tex3]y=\rho.sen(\theta ) [/tex3]

e

[tex3]dydx=\rho.d\rho d\theta [/tex3]


Uuuuuuufa!!! Pronto! Tem muita informação aí para quem for pesquisar sobre esta questão!


Bons estudos!

ok, acho que entendi.

Mas se eu usar a < b ela ficaria

[tex3]A=\frac{π}{4} \ (a^2-b^2)[/tex3]
ou estou errado?