Pré-Vestibular ⇒ (CEDERJ 2007-1) Função

[Jbnlima]

(CEDERJ 2007-1) Considere a função [tex3]f:\Re\longrightarrow\Re[/tex3] definida por:

[tex3]f(x) = x[/tex3] se [tex3]x \leq 1[/tex3]
[tex3]f(x)= 1[/tex3] se [tex3]1\lt x\leq 2[/tex3]
[tex3]f(x)= x-1[/tex3] se [tex3]2\lt x[/tex3]

e o polinômio [tex3]p(x) = x^2+ 2x -3[/tex3]


a) Determine a expressão [tex3]y=p(f(x))[/tex3];

b)Determine os zeros de [tex3]y=p(f(x))[/tex3].

[Natan]

Ajudaria muito se você tivesse colocado o gabarito!, eu não tenho certeza mais vou tentar ok?, vamos lá:

a composta de [tex3]f(x)[/tex3] com [tex3]p(x)[/tex3] assim como [tex3]f(x)[/tex3] será também uma função definida por partes. Analisando [tex3]f(x)[/tex3] vamos compor ela com [tex3]p(x)[/tex3] de acordo com cada uma das partes de [tex3]f(x)[/tex3]

[tex3]p(f(x))[/tex3] quando [tex3]x{\leq}1[/tex3] será [tex3]x^2+ 2x -3[/tex3]

[tex3]p(f(x))[/tex3] quando [tex3]1<x{\leq}2[/tex3] será [tex3]0[/tex3]

[tex3]p(f(x))[/tex3] quando [tex3]x>2[/tex3] será [tex3](x-1)^2+2(x-1)-3=x^2-4[/tex3]

logo a função composta será:

[tex3]y=\begin{cases}
x^2+2x-3\, \text{se}\, x{\leq}1 \\
0\, \text{se}\, 1<x{\leq}2\\
x^2-4\, \text{se}\, x>2
\end{cases}[/tex3]

para achar as raízes devemos ver quais valores de [tex3]x[/tex3] anulam a função em cada uma das partes:

para [tex3]y=x^2+2x-3[/tex3] temos como raízes [tex3]x=-3\, \text{ou}\, x=1.[/tex3]
para [tex3]y=-3[/tex3] não existem valores de [tex3]x[/tex3] que anulam a função.
para [tex3]y=x^2-4[/tex3] temos como raízes [tex3]x=-2\, \text{ou}\, x=2.[/tex3]

logo as raízes da função [tex3]y[/tex3] são o conjunto: [tex3]\{-3,\, -2,\, 1,\, 2\}{\cup}(1,\, 2][/tex3].

[Jbnlima]

Oi Natan.

Quero ver se entendi.

P(f(x)) quando x [tex3]\leq[/tex3] 1 seria [tex3]x^2[/tex3]+2x-3, pois como já é x não precisa substituir;

p(f(x)) quando x [tex3]\gt[/tex3] 2 foi substituído o x -1 em lugar de cada x.

P(f(x)) quando 1 [tex3]\lt[/tex3] x [tex3]\leq[/tex3] 2, seria - 3(Este eu não entendi).


Quando a não ter enviado a resposta é que infelismente não consegui o gabarito desta questão no site do CEDERJ. Abraço.

[Natan]

pois é, essa que você não entendeu foi "falha nossa" mesmo mais já arrumei..., desculpa.

mais alguma pergunta?

[Jbnlima]

Agora esta entendido. Obrigado pelo esclarecimento.

[Jbnlima]

Gostaria só de alertar para o fato, que após passar a questão para o meu caderno, descobri que as raízes de P(f(x))= [tex3]x^2+2x-3[/tex3] são -3 e 1 e não -3 e -1. Modificando no caso, o resultado final. Abraços!!!

[Natan]

coloquei o sinal na frente do 1 sem querer, valeu a percepção!