Concursos Públicos ⇒ (Escola Naval 1993) Progressão Geométrica

[Sabida]

Se [tex3]\frac{1}{b}+ \frac{1-b}{b}+ \frac{(1-b)^{2}}{b}+...+\frac{(1-b)^{n}}{b}=\frac{1}{b^{2}}[/tex3]

Sobre o valor de [tex3]b,[/tex3] podemos afirmar que:

(a)|b|=1
(b) b=4
(c) b [tex3]\geq [/tex3] 2
(d) b<0
(e) 0<b<2

Resposta

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(e)

[pedrolopes]

Boa tarde, observe que a partir de (1-b) temos a soma de uma pg de razão (1-b), pois (1-b).(1-b)=(1-b)^2.
Relembrando a fórmula da soma de uma pg, temos que Sn = [tex3]\frac{a1(q^{n}-1)}{q-1}[/tex3], sendo a1 o primeiro termo e q, a razão. Neste caso : [tex3]Sn = \frac{(1-b).[(1-b)^{n}-1]}{1-b-1}[/tex3].
Voltando a nossa equação inical, vamos escrevê-la de outra forma : [tex3]\frac{1+Sn}{b} = \frac{1}{b^{2}}[/tex3], fazendo algumas contas, temos que [tex3]Sn=\frac{1-b}{b}[/tex3]. Assim [tex3]\frac{(1-b).[(1-b)^{n}-1]}{-b} = \frac{1-b}{b}[/tex3]. Cancelando -b e b, o denominador do 1° lado da igualdade será -1, para eliminá-lo, dividimos (1-b) pelo -1, resultando (b-1). Dessa forma, [tex3](b-1).[(1-b)^{n}-1]=1-b[/tex3].
Passando 1-b para o 1° lado : [tex3]b-1+(b-1).[(1-b)^{n}-1]=0[/tex3], podemos deixar (b-1) em evidência : [tex3](b-1).[1+[(1-b)^{n}-1]]=0[/tex3]. Daqui tiramos que [tex3]b-1=0[/tex3] ou [tex3]1+(1-b)^{n}-1=0[/tex3].
Na 1ª equação, descobrimos que [tex3]b=1[/tex3] ou seja [tex3]0< b < 2[/tex3].
Na 2ª equação [tex3](1-b)^{n}=0[/tex3], a base 1-b deve ser obrigatoriamente 0, pois apenas 0 elevado a um ''n'' qualquer será 0, assim chegaremos na equação [tex3]1-b=0[/tex3] idêntica à anterior, ou seja, b é definitivamente 1.