Concursos Públicos ⇒ (FEPESE - 2017) Divisão de Polinômios Tópico resolvido

[Belushi]

Um polinômio p(x) dividido por (x–3) tem resto 5 e dividido por (x+1) tem resto 4. Sabe-se ainda que o resto da divisão de p(x) pelo produto (x+1)(x–3) é igual a cx+d, onde c, d são números reais.

Portanto, o valor de c é:

Resposta

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1/4

[CarlosBruno]

Como o polinômio [tex3]p(x)[/tex3] ao ser dividido por [tex3]x-3[/tex3] apresentará resto [tex3]5[/tex3], podemos montar uma equação bem famosa ao estudar divisão de polinômios: [tex3]p(x)=(x-3)\cdot q_1(x)+r(x)[/tex3] onde [tex3]q_1(x)[/tex3] é a função polinomial quociente e [tex3]r(x)[/tex3] a função polinomial resto que neste caso é igual a [tex3]5[/tex3]

[tex3]\therefore p(x)=(x-3)\cdot q_1(x)+5\Rightarrow p(3)=0\cdot q_1(x)+5=5[/tex3]

De forma análoga à divisão por [tex3]x+1[/tex3] teremos: [tex3]p(x)=(x+1)\cdot q_2+4\Rightarrow p(-1)=0\cdot q_2+4=4[/tex3]

Como o grau do resto sempre é menor ou igual a uma unidade a menos que o grau do divisor, portanto grau da [tex3]R(x)[/tex3] será [tex3]\leq 2[/tex3]

[tex3]\therefore R(x)=cx+d[/tex3] onde [tex3]c\;e\;d \in \mathbb{R}[/tex3]

[tex3]p(x)=(x+1)(x-3)\cdot Q(x)+cx+d\Rightarrow p(3)=5=0\cdot Q(x)+3c+d\Rightarrow 3c+d=5 (I) \\ p(-1)=4=0\cdot Q(x)-c+d\Rightarrow -c+d=4(II)[/tex3]

Resolvendo o sistema linear de equações [tex3](I)[/tex3] e [tex3](II)[/tex3] obtemos que: [tex3](c,d)=\left(\frac{1}{4},\frac{17}{4}\right)[/tex3]

E como ele quer saber o valor de c, portanto gabarito = [tex3]\frac{1}{4}[/tex3]