IME / ITA ⇒ (AFA - 1994) Equação Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Para que a equação [tex3]senx+cosx=k[/tex3] seja verdadeira, deve-se ter:

a) [tex3]{-}1 \leq k \leq 1.[/tex3]
b) [tex3]{-}2 \leq k \leq 2.[/tex3]
c) [tex3]{-}\sqrt{2} \leq k \leq \sqrt{2}.[/tex3]
d) [tex3]{-}\frac{\sqrt{2}}{2} \leq k \leq \frac{\sqrt{2}}{2}.[/tex3]

[Thales Gheós]

De maneira rápida:

a maior soma possível ocorre para [tex3]x=\frac{\pi}{4}\rightarrow\,\cos (x)=\sen (x)=\frac{\sqrt{2}}{2}\rightarrow\,\sen (x)+\cos (x)=\sqrt{2}[/tex3]

assim [tex3]{}-\sqrt{2}\leq{}k\leq\sqrt{2}[/tex3]

calculando:

[tex3]\sen (x)+\cos (x)=k\\\sqrt{1-\cos ^2(x)}+\cos (x)=k\\\sqrt{1-\cos ^2(x)}=k-\cos (x)\\1-\cos ^2(x)=k^2+\cos ^2(x)-2kcos(x)[/tex3]

fazendo [tex3]\cos (x)=y[/tex3]

[tex3]1-y^2=k^2+y^2-2ky\\2y^2-2ky+k^2-1=0\\\Delta=-4k^2+8[/tex3]

devemos impor [tex3]\Delta\geq0[/tex3]

[tex3]k=\pm\sqrt{2}[/tex3] e sendo parábola com a concavidade para baixo:

[tex3]{}-\sqrt{2}\leq{}k\leq\sqrt{2}[/tex3]

[triplebig]

Uma maneira mais ligeira é elevar ambos os lados ao quadrado:

[tex3]\text{sen}2\alpha=k^2-1[/tex3] que é máximo quando [tex3]k^2-1=1\Longleftrightarrow k=\pm\sqrt{2}[/tex3]

[futuromilitar]

De maneira rápida:

a maior soma possível ocorre para [tex3]x=\frac{\pi}{4}\rightarrow\,\cos (x)=\sen (x)=\frac{\sqrt{2}}{2}\rightarrow\,\sen (x)+\cos (x)=\sqrt{2}[/tex3]

assim [tex3]{}-\sqrt{2}\leq{}k\leq\sqrt{2}[/tex3]

calculando:

[tex3]\sen (x)+\cos (x)=k\\\sqrt{1-\cos ^2(x)}+\cos (x)=k\\\sqrt{1-\cos ^2(x)}=k-\cos (x)\\1-\cos ^2(x)=k^2+\cos ^2(x)-2kcos(x)[/tex3]

fazendo [tex3]\cos (x)=y[/tex3]

[tex3]1-y^2=k^2+y^2-2ky\\2y^2-2ky+k^2-1=0\\\Delta=-4k^2+8[/tex3]

devemos impor [tex3]\Delta\geq0[/tex3]

[tex3]k=\pm\sqrt{2}[/tex3] e sendo parábola com a concavidade para baixo:

[tex3]{}-\sqrt{2}\leq{}k\leq\sqrt{2}[/tex3]

Cara, como vc fez [tex3]2y^2-2ky+k^2-1=0[/tex3]

fiquei com duvida nos coeficientes !