Demonstrações ⇒ (Demonstração) Metrica no triângulo retângulo e suas flechas Tópico resolvido

[jvmago]

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Tese
[tex3]r=\sqrt{2ab}[/tex3]


Sabemos que [tex3]OM=ON= R[/tex3] então PO=R-a e OQ=R-b

Por congruência dos triângulos OPC e OBQ temos OP=BQ e PC=OQ


aplicando Pitágoras

[tex3]R²=(R-a)^2+(R-b)^2[/tex3]

Pelo teorema de Steiner temos

[tex3]a+b+R=2R-r[/tex3]
[tex3]R=a+b+r[/tex3] substituindo

[tex3](r+a+b)^2=(r+a)^2+(r+b)^2[/tex3]

Donde tiramos
[tex3]r=\sqrt{2ab}[/tex3] e [tex3]R=a+b+\sqrt{2ab}[/tex3]

[jvmago]

Fica como desafio

Determine a área do triângulo ABC em função de a e b

[Tassandro]

Pelo teorema de Steiner

Esse é o mesmo Teorema de Carnot?
http://recreacoesmatematicas.blogspot.c ... e.html?m=1
Para o desafio acho que é só fazer:
[tex3]A=3\cdot(R-b)(R-a)=(a+\sqrt{2ab})(b+\sqrt{2ab})[/tex3]
Agradeço pela bela demonstração.

[Tassandro]

Esqueci de um 3 ali no final.

[jvmago]

No caso, Steiner mostrou que [tex3]4R+r=r_a+r_b+r_c[/tex3] e Carnot [tex3]R+r=OX+OY+OZ[/tex3]

[Tassandro]

Muito bom! Eu confudi na munha resposta ao desafio, era para ser
[tex3]A=2(R-a)(R-b)=2(a+\sqrt{2ab})(b+\sqrt{2ab})[/tex3]