IME / ITA ⇒ (Colégio Naval - 1977) Geometria Plana - Triângulos Tópico resolvido

[agp16]

Um triângulo [tex3]ABC[/tex3] tem [tex3]96 m^2[/tex3] de área. [tex3]\overline{AM}[/tex3] e [tex3]\overline{BN}[/tex3] são duas medianas e [tex3]P[/tex3] é o ponto de inserção dessas medianas. A área do triângulo [tex3]PMN[/tex3] é de:

(A) [tex3]10 m^2[/tex3]
(B) [tex3]8 m^2[/tex3]
(C) [tex3]12,5 m^2[/tex3]
(D) [tex3]9,6 m^2[/tex3]
(E) [tex3]6,4 m^2[/tex3]

[jgpret]

Boa Noite!

Considere o esquema a seguir.

Nele, além do que foi traçado no exercício também tracei a mediana que parte do vértice [tex3]C[/tex3] e demarquei o triângulo médio (o que tem os vértices nos pontos médios dos lados).
Fora isso, omo os segmentos [tex3]MN[/tex3], [tex3]ON[/tex3] e [tex3]OM[/tex3] são bases médias dos lados [tex3]AB[/tex3], [tex3]BC[/tex3] e [tex3]AC[/tex3], respectivamente, então eles valem a metade do seu respectivo lado.

Sem título 1.jpg (8 KiB) Exibido 3449 vezes

Assim, podemos dizer que as áreas dos triângulos [tex3]AON[/tex3], [tex3]BOM[/tex3], [tex3]MNO[/tex3] e [tex3]MNC[/tex3] são iguais o valor dos seus lados são iguais : [tex3]a[/tex3], [tex3]b[/tex3] e [tex3]c[/tex3].

Assim, a Área do triângulo [tex3]OMN[/tex3] é a quarta parte da área do [tex3]ABC[/tex3], logo : [tex3]Area_{OMN}=\frac{96}{4}=24[/tex3]

Logo, Assumindo que a área dos triângulos [tex3]MNP[/tex3], [tex3]MOP[/tex3] e [tex3]NOP[/tex3] sejam iguais (o que provarei na próxima mensagem), então a área de [tex3]PMN[/tex3] vale a terça parte da do triângulo [tex3]MNO[/tex3].

Logo: [tex3]A_{MNP}=\frac{24}{3}=8m^2[/tex3], ou seja, letra ([tex3]B[/tex3])

[adrianotavares]

Ola, agp16.

Pela propriedade da base média do triângulo temos:

[tex3]\overline{MN} = \frac{\overline{AB}}{2}= x[/tex3]

Triângulo PMN.GIF (2.58 KiB) Exibido 3428 vezes

Cálculo da área do [tex3]\Delta CMN[/tex3]:

[tex3]\frac{S^{'}}{96}= \(\frac{x}{2x}\)^2[/tex3]

[tex3]S^{'}= 24 m^2[/tex3]

Área do quadrilátero [tex3]ANMB[/tex3]

[tex3]96-24 = 72 m^2[/tex3]

A área do [tex3]\Delta AMB[/tex3] é o dobro da área do [tex3]\Delta ANM[/tex3].

[tex3]A_{\Delta AMB}= 48 m^2[/tex3]

A área do [tex3]\Delta NMA[/tex3] é igual a área do [tex3]\Delta NMB[/tex3], pois, ambos têm a mesma base e alturas iguais.

[tex3]A_{\Delta NMA} = A_{\Delta NMB}= 24 m^2[/tex3]

A razão entre as áreas de duas figuras semelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança, logo, conclui-se que a área do [tex3]\Delta APB[/tex3] é o quádruplo da área do [tex3]\Delta PMN[/tex3]

Cálculo da área do [tex3]\Delta PMN[/tex3]:

[tex3]A_{\Delta APB}+ A_{\Delta PMB}= 48[/tex3]

[tex3]4S + 24 - S= 48[/tex3]

[tex3]3S = 24[/tex3]

[tex3]S= 8 m^2[/tex3]

Alternativa: B

[jgpret]

Provando:

Fato 1: "A mediana separa o triângulo em duas porções de igual área"

Sem título.jpg (6.84 KiB) Exibido 3422 vezes

Assim, ao calcular a área [tex3]A_{ABM} = \frac{x.H}{2}[/tex3] ou [tex3]A_{ACM} = \frac{x.H}{2}[/tex3], temos que [tex3]A_{ABM} = A_{ACM}[/tex3]

Fato 2:

Dado um triângulo [tex3]ABC[/tex3] de área total [tex3]X[/tex3] de medianas [tex3]AD[/tex3], [tex3]BE[/tex3] e [tex3]CF[/tex3] e baricentro [tex3]G[/tex3] temos a seguinte representação:

Sem título 2.jpg (7.68 KiB) Exibido 3415 vezes

Temos que: [tex3]S_1=S_2 = S[/tex3], [tex3]S_3=S_4 = U[/tex3] e [tex3]S_5=S_6 = P[/tex3]

Assim, também temos que:

a)[tex3]S_1 + S_2 + S_3=S_4+ S_5+S_6[/tex3]
Substituindo:
[tex3]2S+U=U + 2P[/tex3]
[tex3]S=P[/tex3]

b)[tex3]S_2 +S_1 +S_6 =S_3+S_4+ S_5[/tex3]
Substituindo:
[tex3]2S+P=2U +P[/tex3]
[tex3]S=U[/tex3]

Logo [tex3]S=P=U[/tex3]

Então (conclusão final desejada para aplicar no exercício anterior): as áreas dos triângulos [tex3]AGC[/tex3], [tex3]CGB[/tex3] e [tex3]BGA[/tex3] são iguais.

obs: se eu nao fui claro em alguma passagem me avise para que eu tente solucionar a sua duvida

[agp16]

Olá, jgpret e adrianotavares

Depois das explicações só nos resta agradecer as brilhantes soluções. O fórum tende a crescer com a presença de vocês. Valeu.