IME/ITA ⇒ (TDF) MHS Superfície Horizontal Tópico resolvido

[triplebig]

Uma prancha de massa [tex3]M[/tex3] está inicialente em repouso sobre uma superfície horizontal. Na extremidade [tex3]A[/tex3] desta prancha, encontra-se, também em repouso, um atuomóvel de massa [tex3]m[/tex3], assimílável à um ponto material.
A partir de certo instante, o automóvel passa a realizar um movimento harmônico simples em relação à superfície horizontal, indo da extremidade [tex3]A[/tex3] à extremidade [tex3]B[/tex3] e, em marcha ré, da extremidade [tex3]B[/tex3] à extremidade [tex3]A[/tex3]. Considere [tex3]L[/tex3] o comprimento da prancha, [tex3]\mu[/tex3] o coeficiente de atrito estático entre os pneus e a prancha e [tex3]g[/tex3] a intensidade do campo gravitacional. Despreze o atrito entre a prancha e a superfície em que se apóia. Nessas condições, determine:

a) a amplitude do movimento do automóvel em relação à superfície horizontal;

b) a máxima frequência que o movimento do automóvel pode ter.

Respostas

---

[tex3]a)\text{ }\frac{ML}{2(M+m)}\\ b)\text{ }\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{2\mu g(M+m)}{ML}}[/tex3]

[Tassandro]

triplebig,
Como atuam apenas forças internas, há a conservação da quantidade de movimento.
Assim, quando o carro se desloca x (em relação a Terra), a prancha se desloca (L-x), assim,
[tex3]mx=M(L-x)\implies x=\frac{ML}{M+m}[/tex3]
Mas x é igual a 2A (ida e volta), assim,
[tex3]A=\frac{ML}{2(M+m)}[/tex3]
A aceleração máxima é dada por
[tex3]a=ω^2A[/tex3]
A força restauradora é a força de atrito, assim,
[tex3]mgμ=mω^2A\implies ω^2=\frac{2(M+m)gμ}{ML}\implies f=\frac{1}{2π}\sqrt\frac{2gμ(M+m)}{ML}[/tex3]