Pré-Vestibular ⇒ (UFRJ - 2000) Mister MM Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Mister MM, o Mágico da Matemática, apresentou-se diante de uma platéia com [tex3]50[/tex3] fichas, cada uma contendo um número. Ele pediu a uma espectadora que ordenasse as fichas de forma que o número de cada uma, excetuando-se a primeira e a última, fosse a média aritmética do número da anterior com o da posterior. Mister MM solicitou a seguir à espectadora que lhe informasse o valor da décima sexta e da trigésima primeira ficha, obtendo como resposta [tex3]103[/tex3] e [tex3]58[/tex3] respectivamente. Para delírio da platéia, Mister MM adivinhou então o valor da última ficha.
Determine você também este valor.

[cajuADMIN]

Olá Aldrin,

Veja a seqüência definida pelo mágico. Um número que é a média de outros dois está exatamente no meio dos outros dois. Por exemplo, se temos o número [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3], e inserirmos entre eles a média aritmética dos dois, estaremos inserindo um número [tex3]X[/tex3] que tem a mesma "distância" de [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3], ou seja, [tex3]X-A=B-X[/tex3].

Esta é a propriedade de uma progressão aritmética. Portanto, estamos lidando com uma P.A. com as seguintes características:

[tex3]a_{16}=103[/tex3]

[tex3]a_{31}=58[/tex3]

[tex3]a_{50}=?[/tex3]

Vamos, então, aplicar a fórmula do termo geral de uma P.A. nos dois termos dados e montar um sistema:

[tex3]\{a_1+15r=103 \\ a_1+30r=58[/tex3]

Resolvendo teremos [tex3]a_1=148[/tex3] e [tex3]r=-3[/tex3].

O exercício pede o valor de [tex3]a_{50}=a_1+49r=148+49\cdot(-3)=148-147=1[/tex3]