Ensino Médio ⇒ Mediatriz e Circuncentro Tópico resolvido

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Em um triângulo ABC com circuncentro O, AB = AC, D é o ponto médio de AB e E é o baricentro do triângulo ACD. Prove que OE é perpendicular a CD.

Essa questão está no Index to Mathematical Problems, p173, Britain 1983/1. O livro não tem solução

[fkaio]

[user]Zhadnyy[/user] Infelizmente não consegui pensar em algo, bati muito a cabeça aqui. O máx q consegui foi esse desenho depois de algumas tentativas, espero q ajude.

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[παθμ]

Ao ler esse enunciado, é possível perceber que uma resolução por geometria analítica deve ser viável. Seja [tex3]B[/tex3] a origem de um sistema de coordenadas retangulares, orientado tal como na figura abaixo. Seja [tex3]l[/tex3] o lado isósceles do triângulo e [tex3]\alpha[/tex3] o ângulo interno da base.

Screenshot 2023-10-15 130145.png (167.82 KiB) Exibido 436 vezes

Coordenadas: [tex3]B(0,0), \; A\left(l\cos(\alpha),l\sin(\alpha)\right), \; C(2l\cos(\alpha),0), \; D\left(\frac{l\cos(\alpha)}{2},\frac{l\sin(\alpha)}{2}\right).[/tex3]

O ponto E é o baricentro de ACD, então [tex3]x_E=\frac{x_A+x_C+x_D}{3}=\frac{7l\cos(\alpha)}{6}[/tex3] e [tex3]y_E=\frac{y_A+y_C+y_D}{3}=\frac{l\sin(\alpha)}{2}.[/tex3]

Como o triângulo ABC é isósceles, seu circuncentro O está na mesma abscissa do vértice A: [tex3]x_O=l\cos(\alpha).[/tex3] Para achar sua ordenada, [tex3]y_O[/tex3], igualamos sua distância ao vértice A, [tex3]l\sin(\alpha)-y_O[/tex3], à sua distância dos vértices B e C, que por pitágoras vale [tex3]\sqrt{y_O^2+l^2\cos^2(\alpha)}.[/tex3]

[tex3]l\sin(\alpha)-y_O=\sqrt{y_0^2+l^2\cos^2(\alpha)} \Longrightarrow y_O^2+l^2\cos^2(\alpha)=(l\sin(\alpha)-y_O)^2 \Longrightarrow y_O=\frac{l(2\sin^2(\alpha)-1)}{2\sin(\alpha)}.[/tex3]

Agora, vamos achar o coeficiente angular da reta OE, [tex3]m_{OE}.[/tex3]

[tex3]\Delta y=y_E-y_O=l\left(\frac{\sin(\alpha)}{2}-\frac{2\sin^2(\alpha)-1}{2\sin(\alpha)}\right)=l\frac{1-\sin^2(\alpha)}{2\sin(\alpha)}=\frac{l\cos^2(\alpha)}{2\sin(\alpha)}.[/tex3]

[tex3]\Delta x=x_E-x_O=\frac{l\cos(\alpha)}{6}.[/tex3]

[tex3]m_{OE}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{3\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}=\frac{3}{\tan(\alpha)}.[/tex3]

Agora, vamos achar o coeficiente angular da reta CD, [tex3]m_{CD}.[/tex3]

[tex3]\Delta y=y_C-y_D=-\frac{l\sin(\alpha)}{2}[/tex3], [tex3]\Delta x=x_C-x_D=\frac{3l\cos(\alpha)}{2}[/tex3]

[tex3]m_{CD}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=-\frac{\sin(\alpha)}{3\cos(\alpha)}=-\frac{\tan(\alpha)}{3}.[/tex3]

[tex3]m_{OE}m_{CD}=\frac{3}{\tan(\alpha)} \times \left(-\frac{\tan(\alpha)}{3}\right)=-1.[/tex3]

Como [tex3]m_{OE}m_{CD}=-1[/tex3], as retas OE e CD são perpendiculares, C.Q.D