IME / ITA ⇒ (ITA - 1991) Geometria Espacial Tópico resolvido

[triplebig]

As arestas da base de uma pirâmide triangular regular medem [tex3]\mathsf{l}[/tex3] cm e as faces laterais são triângulos retângulos. O volume desta pirâmide, em [tex3]\mathsf{cm^3}[/tex3] é:

[cajuADMIN]

Olá triplebig,

A primeira coisa que devemos ter em mente é que, sendo uma pirâmide regular, é reta. Ou seja, as faces serão triângulos isósceles.
Se o enunciado diz que são triângulos retângulos, e sabemos que são isósceles, podemos calcular o comprimento da aresta lateral sabendo a aresta [tex3]\ell[/tex3] da base utilizando o teorema de pitágoras:

aresta lateral = [tex3]\frac{\ell\sqrt 2}{2}[/tex3]

Agora o problema é calcular a altura. Veja a figura abaixo:

piramide.GIF (3.95 KiB) Exibido 5589 vezes

ABC é triângulo equilátero. O ponto D é o baricentro de ABC, ou seja, AD mede 2/3 da altura do triângulo ABC

[tex3]AD=\frac 23\cdot\frac{\ell\sqrt 3}{2}=\frac{\ell\sqrt 3}{3}[/tex3]

Aplicamos pitágoras no triângulo AED e conseguimos achar a altura [tex3]h[/tex3]:

[tex3]h=\frac{\ell\sqrt 6}{6}[/tex3]

Agora o volume fica fácil de ser calculado:

[tex3]V=\frac{\text{area da base}\time\text{altura}}{3}[/tex3]

[tex3]V=\frac{\frac{\ell^2\sqrt 3}{4}\times\frac{\ell\sqrt 6}{6}}{3}=\frac{\ell^3\sqrt 2}{24}[/tex3]

Ih, n.d.a. novamente. Algum erro? Verifiquei minha resolução aqui e não achei nada. Eu marcaria letra E.

[ALDRINMOD]

A resolução que tenho:

Uma pirâmide triangular regular cujas faces laterais são triângulos retângulos é um tetraedro tri-retangular cuja face oposta ao triedro tri-retângulo é um triângulo eqüilátero de lado [tex3]L[/tex3].

Pirâ.jpg (5.93 KiB) Exibido 5155 vezes

Cálculo de [tex3]h[/tex3]:

Na face [tex3]AVC[/tex3], temos:

[tex3]h^2+h^2=L^2[/tex3]
[tex3]h=\frac{L\sqrt{2}}{2}[/tex3]

Cálculo da área da base [tex3]BVC[/tex3]:

[tex3]B=\frac{h.h}{2}=\frac{L^2}{4}[/tex3]

Cálculo do volume da pirâmide:

[tex3]V=\frac{B.h}{3}=\frac{\frac{L^2}{4}
.\frac{L\sqrt{2}}{2}}{3}[/tex3]

[tex3]V=\frac{L^3.\sqrt{2}}{24}\text{ cm^3}.[/tex3]

[triplebig]

Infelizmente eu não tenho o gabarito destas apostilas, mas entendi ambas as soluções, agradeço