Olá, novamente,
Lars.
Note que o grau de
[tex3]p_1(X)[/tex3] será obtido a partir do produto dos seguintes termos:
[tex3]\begin{aligned}p_1(X) & = ({\color{red}X} + 1) \cdot ({\color{red}X^2} + 1) \cdot ({\color{red}X^3} + 1) \cdot ... \cdot ({\color{red}X^{99}} + 1) \cdot ({\color{red}X^{100}} + 1) \\ & = X \cdot X^2 \cdot X^3 \cdot ... \cdot X^{99} \cdot X^{100} + ...\end{aligned},[/tex3]
ou seja, o grau de
[tex3]p_1(X)[/tex3] é
[tex3]5050,[/tex3] pois
[tex3]\begin{aligned} p_1(X) & = X \cdot X^2 \cdot X^3 \cdot ... \cdot X^{99} \cdot X^{100} + ... \\ & = X^{1 + 2 +3 +4 + .. + 99 + 100} + .. \\ & = X^{5050} + ... \end{aligned}[/tex3]
Agora, veja que o grau do quociente
[tex3]q(X)[/tex3] é
[tex3]5048,[/tex3] pois o produto entre
[tex3]p_2(X) = X^2 + X + 1[/tex3] e
[tex3]q(X)[/tex3] deve resultar no grau de
[tex3]p_1(X),[/tex3] uma vez que
[tex3]p_1(X) = q(X)p_2(X) + r(X) [/tex3]
e daí
[tex3]g = 5048.[/tex3]
Por fim, perceba que
[tex3]p_1(X)[/tex3] intercepta o eixo vertical em
[tex3]x= 0,[/tex3] ou seja,
[tex3]\begin{aligned}p_1(0) & = ( 0 + 1) \cdot (0^2 + 1) \cdot (0^3 + 1) \cdot … \cdot (0^{100} + 1) \\ & = 1\end{aligned}[/tex3]
Portanto, a resposta é
[tex3]g + n = 5048 + 1 = 5049.[/tex3]
Nota:
A soma
[tex3]1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99 + 100 = 5050[/tex3] é obtida a partir da soma dos termos de uma progressão aritmética, em que
[tex3]a_1 = 1,[/tex3] [tex3]a_{100} = 100[/tex3] e o número de termos é
[tex3]100:[/tex3]
[tex3]S_{pa} = \frac{ \( a_1 + a_n \) n}{2}[/tex3]