Ensino Superior ⇒ Cálculo 3 - Equação exata

[FilipeDLQ]

Pessoal estou com dificuldades em resolver a seguinte questão:

Verifique que a equação diferencial

[tex3]\left(\frac{2x}{y}-\frac{3y^2}{x^4}\right)dx+\left(\frac{2y}{x^3}-\frac{x^2}{y^2}+\frac{1}{\sqrt{y}}\right)dy=0[/tex3]

é exata e resolva-a.

[AnthonyC]

Para que uma equação da forma [tex3]Mdx+Ndy=0[/tex3] seja exata, devemos ter:
[tex3]M_{y}=N_{x}[/tex3]
Assim:

[tex3]M_{y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{2x}{y}-\frac{3y^2}{x^4}\right)[/tex3]
[tex3]M_{y}=\frac{-2x}{y^2}-\frac{6y}{x^4}[/tex3]

[tex3]N_{x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{2y}{x^3}-\frac{x^2}{y^2}+\frac{1}{\sqrt{y}}\right)[/tex3]
[tex3]N_{x}=\frac{-6y}{x^4}-\frac{2x}{y^2}[/tex3]
Dado que a condição para ser exata foi cumprida, então criamos uma função auxiliar [tex3]\psi(x,y)[/tex3], tal que [tex3]\psi_{x}=N[/tex3] e [tex3]\psi_{y}=M[/tex3], então podemos achar [tex3]\psi[/tex3] resolvendo:

[tex3]\psi_{x}=N[/tex3]
[tex3]\psi_{x}=\frac{2y}{x^3}-\frac{x^2}{y^2}+\frac{1}{\sqrt{y}}[/tex3]
[tex3]\psi=\frac{-y}{x^2}-\frac{x^3}{3y^2}+\frac{x}{\sqrt{y}}+g(y)[/tex3]

[tex3]\psi_{y}=M[/tex3]
[tex3]\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{-y}{x^2}-\frac{x^3}{3y^2}+\frac{x}{\sqrt{y}}+g(y)\right)=M[/tex3]
[tex3]\frac{-1}{x^2}+\frac{x^3}{y^3}-\frac{x}{2\sqrt{y^3}}+g'(y)=M[/tex3]
[tex3]\frac{-1}{x^2}+\frac{x^3}{y^3}-\frac{x}{2\sqrt{y^3}}+g'(y)=\frac{2x}{y}-\frac{3y^2}{x^4}[/tex3]
[tex3]g'(y)=\frac{2x}{y}-\frac{3y^2}{x^4}-\frac{-1}{x^2}-\frac{x^3}{y^3}+\frac{x}{2\sqrt{y^3}}[/tex3]
[tex3]g(y)=2x\ln(y)-\frac{y^3}{x^4}+\frac{y}{x^2}+\frac{x^3}{2y^2}-\frac{x}{2\sqrt{y}}[/tex3]

Assim, temos:
[tex3]\psi=\frac{-y}{x^2}-\frac{x^3}{3y^2}+\frac{x}{\sqrt{y}}+2x\ln(y)-\frac{y^3}{x^4}+\frac{y}{x^2}+\frac{x^3}{2y^2}-\frac{x}{2\sqrt{y}}[/tex3]
[tex3]\psi=\frac{x}{2\sqrt{y}}+2x\ln(y)-\frac{y^3}{x^4}+\frac{x^3}{6y^2}[/tex3]

Assim, [tex3]y[/tex3] é dado implicitamente por:
[tex3]c=\frac{x}{2\sqrt{y}}+2x\ln(y)-\frac{y^3}{x^4}+\frac{x^3}{6y^2}[/tex3]