Ensino Superior ⇒ Número de soluções reais

[ITAIME]

O número de soluções reais da equação

[tex3]x^{5} - 6x^{2}[/tex3] + 2x = -1

é:

a)1
b)2
c)3
d)4
e)5

Resposta

---

c

[Farinheiro]

Seja [tex3]f(x)=x^5-6x^2+2x+1[/tex3], [tex3]f(x)[/tex3] é um polinômio, ou seja, a função [tex3]f(x)[/tex3] é contínua.

[tex3]\rightarrow f''(x)=20x^3-12[/tex3], assim [tex3]f''(x)[/tex3] só tem uma solução real.

Com isso [tex3]f'(x)=5x^4-12x+2[/tex3] só apresenta um mínimo [tex3]x_0[/tex3] que se encontra abaixo do eixo x, pois [tex3]f'(1)<0[/tex3], desse modo mínimo também está abaixo do eixo x.

Logo, como [tex3]f'(x)[/tex3] é contínuo e cresce para [tex3]x_0\pm x[/tex3] ("parece uma parábola"), [tex3]f'(x)[/tex3] apresenta exatamente duas raízes reais.

Como [tex3]f'(x)[/tex3] só tem duas raízes reais, [tex3]f(x)[/tex3] tem dois pontos onde a reta tangente é paralela ao eixo x("um mínimo e um máximo"), portanto, f(x) tem no máximo três raízes reais.

Agora, note que [tex3]f(x)[/tex3] tem três raízes reais, pois:

[tex3]f(-1)<0[/tex3], [tex3]f(0)>0[/tex3], [tex3]f(1)<0[/tex3] e [tex3]f(2)>0[/tex3]

Há então uma raiz real nos intervalos [tex3](-1,0)[/tex3], [tex3](0,1)[/tex3] e [tex3](1, 2)[/tex3].