IME / ITA ⇒ (ITA - 1977) Análise Combinatória: Arranjos Simples

[bruninha]

Consideremos [tex3]m[/tex3] elementos distintos. Destaquemos [tex3]k[/tex3] dentre eles. Quantos arranjos simples daqueles [tex3]m[/tex3] elementos, tomados [tex3]n[/tex3] a [tex3]n[/tex3] [tex3](A_{m,n}),[/tex3] podemos formar, de modo que cada arranjo haja sempre, contíguos e em qualquer odem de colocação, [tex3]r\text{ } (r<n)[/tex3] dos [tex3]k[/tex3] elementos destacados?

a) [tex3](n-r-1)A_{k,r}A_{m-k,n-r}[/tex3]
b) [tex3](n-r+1)A_{k,r}A_{m-r,n-k}[/tex3]
c) [tex3](n-r-1)A_{k,r}A_{m-r,n-k}[/tex3]
d) [tex3](n-r+1)A_{k,r}A_{m-k,n-r}[/tex3]
e) [tex3]\text{n.d.a.}[/tex3]

Resposta:

---

d

[John]

Uma questão que foi postada a um tempo atrás..e bem legal!

Sejam [tex3]x_1, x_2,....., x_m[/tex3] os m elementos distintos.

Sejam [tex3]x_1,...,x_k[/tex3], k elementos destacados dos m elementos. Agora escolhamos r elementos dos k elementos [tex3](x_1,...,x_k)[/tex3] e n-r elementos dos m-k elementos restantes [tex3](x_{k+1},...,x_m)[/tex3], ou seja,

[tex3]C(k,r)C(m-k, n-r)[/tex3] é quantidade de maneiras distintas de todas as escolhas possíveis.

Agora, a quantidade de vezes que podemos escrever os n elementos escolhidos de tal forma que os r elementos estejam juntos é

[tex3]r!(n-r+1)![/tex3].

Assim o número de arranjos simples daqueles m elementos, tomados n a n, de modo que cada arranjo haja sempre, juntos e em qualquer ordem de colocação, r (r < n) dos k elementos destacados é

C(k,r)C(m-k, n-r)r!(n-r+1)! = C(k,r)r!C(m-k, n-r)(n-r+1)! = [C(k,r)r!][C(m-k, n-r)(n-r)!](n-r+1) = A(k,r)A(m-k,n-r)(n-r+1).

Inté!

[jeabud]

John, pq ficou n-r e m-k elementos restantes?