IME / ITA ⇒ (Escola Naval - 1991) Mínimo Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

O mínimo valor de [tex3]\frac{x^4+x^2+5}{(x^2+1)^2}[/tex3], [tex3]x[/tex3] real, é:

(A) [tex3]0,50[/tex3].
(B) [tex3]0,80[/tex3].
(C) [tex3]0,85[/tex3].
(D) [tex3]0,95[/tex3].
(E) [tex3]1[/tex3].

[cajuADMIN]

Olá Aldrin,

Esta questão deve ser resolvida utilizando-se derivadas. No vestibular da Escola Naval é cobrado este tópico de Ensino Superior.
Vamos então chamar a função de [tex3]f(x)[/tex3]:

[tex3]f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}=\frac{x^4+x^2+5}{(x^2+1)^2}[/tex3]

ou seja

[tex3]g(x)=x^4+x^2+5\,\,\Rightarrow\,\,g'(x)=4x^3+2x[/tex3]

[tex3]h(x)=(x^2+1)^2\,\,\Rightarrow\,\,h'(x)=2(x^2+1)(2x)[/tex3]

Agora é só aplicar a regra do quociente para [tex3]f(x)[/tex3]:

[tex3]f'(x)=\frac{h'(x)g(x)-h(x)g'(x)}{g^2(x)}[/tex3]

[tex3]f'(x)=\frac{2(x^2+1)(2x)(x^4+x^2+5)-(x^2+1)^2(4x^3+2x)}{(x^4+x^2+5)^2}[/tex3]

Desenvolvendo apenas o numerador, chegamos em:

[tex3]f'(x)=\frac{(x^2+1)(-2x^3+18x)}{(x^4+x^2+5)^2}[/tex3]

Os valores críticos (máximos e mínimos) de [tex3]f(x)[/tex3] acontecerão quando [tex3]f'(x)=0[/tex3]

[tex3]\frac{(x^2+1)(-2x^3+18x)}{(x^4+x^2+5)^2}=0[/tex3]

encontramos [tex3]x=0[/tex3], [tex3]x=+3[/tex3] e [tex3]x=-3[/tex3]

Agora devemos saber quem é máximo e quem é mínimo:

[tex3]x=0\,\,\Rightarrow\,\,f(0)=5[/tex3]

[tex3]x=\pm 3\,\,\Rightarrow\,\,f(-3)=f(3)=0,95[/tex3]

Ou seja, o valor mínimo será [tex3]0,95[/tex3].

[Natan]

Oi, prof

uma pergunta: como você fez pra descobrir quem é máximo e quem é mínimo?

[cajuADMIN]

Olá Natan,

Sabemos que os dois pontos serão pontos críticos. Se a questão pede mínimo e, dentre as alternativas, não há a resposta n.d.a, ou seja, é impossível a inexistência de um mínimo.
Assim, eu achei dois valores, o menor será o mínimo então.

[Natan]

mas se não tivesse alternativas?, não tem um jeito pela segunda derivada?

[cajuADMIN]

Olá Natan,

Com certeza, o método correto de ser utilizado é o da segunda derivada. Mas, se temos as alternativas para agilizar o processo, podemos utilizá-las.
O método da segunda derivada iria consumir, no mínimo, uns 30 segundos a mais na resolução da questão.

[Natan]

pois é mais o que eu gostaria é que me lembra-se como se faz o reconhecimento dos máximos e mínimos usando a segunda derivada.

Obrigado.

[cajuADMIN]

Olá Natan,

Após descobrir que [tex3]f'(x_i)=0[/tex3] (ou seja, [tex3]x_i[/tex3] é um valor máximo ou mínimo) descobrimos quanto vale [tex3]f''(x_i)[/tex3].

Se [tex3]f''(x_i)>0[/tex3] a concavidade é para cima, ou seja, o ponto será de mínimo.

Se [tex3]f''(x_i)<0[/tex3] a concavidade é para baixo, ou seja, o ponto será de máximo.

[lecko]

Olá Caju, creio que houve um erro em sua solução, todavia o resultado está certo.
O erro foi que você usou a regra de derivação de forma errada:
[tex3]\( \frac{g_{(x)}}{h_{(x)}} \)'=\frac{g_{(x)}'.h_{(x)}-h_{(x)}'.g_{(x)}}{[h_{(x)}]^2}[/tex3]

Demonstração retirada do livro Um curso de Cálculo I - Luiz Hamilton Guidorizzi:

[tex3]\( \frac{f}{g} \)'_{(p)}= \lim_{x \to p} \frac{\frac{f_{(x)}}{g_{(x)}}-\frac{f_{(p)}}{g_{(p)}}}{x-p}[/tex3]

[tex3]\lim_{x \to p} \frac{f_{(x)}.g_{(p)}-f_{(p)}.g_{(x)}}{x-p} . \frac{1}{g_{(x)}.g_{(p)}}[/tex3]

[tex3]\lim_{x \to p} [\frac{f_{(x)}-f_{(p)}}{x-p}.g_{(p)}-f_{(p)}. \frac{g_{(x)}-g_{(p)}}{x-p}]. \frac{1}{g_{(x)}.g_{(p)}}[/tex3]

[tex3]\lim_{x \to p} \frac{f'_{(p).g_{(p)}-g'_{(p)}.f_{(p)}}}{[g_{(p)}]^2}[/tex3]

Assim:
[tex3]\( \frac{f}{g} \)'_{(p)}=\frac{f'_{(p).g_{(p)}-g'_{(p)}.f_{(p)}}}{[g_{(p)}]^2}[/tex3]

[lecko]

Corrigindo o erro então:
Façamos dos seguinte modo:
[tex3]f_{(x)}=\frac{x^4+x^2+5}{(x^2+1)^2}[/tex3]

[tex3]u=x^4+x^2+5[/tex3]
[tex3]v^2=(x^2+1)^2[/tex3]

[tex3]f\'_{(x)}=\frac{u\'v^2-v\'^{2}u}{v^4}[/tex3]

[tex3]u'=4x^3+2x[/tex3]

[tex3]v^2\'=2v\cdot v\'=2(x^2+1)\cdot 2x=4x(x^2+1)[/tex3]

substituindo:

[tex3]f_{(x)}'=\frac{(4x^3+2x)\cancel{(x^2+1)}^2-4x\cancel{(x^2+1)}(x^4+x^2+5)}{\cancel{(x^2+1)}^4}[/tex3]

[tex3]f_{(x)}'=\frac{(4x^3+2x)(x^2+1)-4x(x^4+x^2+5)}{(x^2+1)^3}[/tex3]

[tex3]f_{(x)}'=\frac{2x^3-18x}{(x^2+1)^3}[/tex3]

agora é só achar as raízes:
[tex3]x(2x^2-18)=0[/tex3]

[tex3]2x^2-18=0 \rightarrow x= \pm 3[/tex3]

Assim vemos que as raízes são: [tex3]x'=0[/tex3], [tex3]x''=3[/tex3], [tex3]x'''= {-}3[/tex3]
testando os valores vemos que a equação assume seu menor valor para [tex3]x=3[/tex3] e que esse valor é [tex3]0,95[/tex3]

Portanto a alternativa correta é a [tex3]"D"[/tex3].