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Seja [tex3]f(x,y)= 8x^2-24xy+y^2[/tex3] encontre máximo e o mínimo da função dada sujeita a restrição [tex3]8x^2+ y^2=1[/tex3]

Passo a passo se possível!!

[tex3]8x^2+y^2=1[/tex3]
[tex3]y^2=1-8x^2[/tex3]
[tex3]y=\pm\sqrt{1-8x^2}[/tex3]

Verificando cada caso separado:

• [tex3]y=\sqrt{1-8x^2}[/tex3]

[tex3]f(x,y)=8x^2-24xy+y^2[/tex3]
[tex3]f(x,y)=8x^2+y^2-24xy[/tex3]
[tex3]f(x)=1-24x\sqrt{1-8x^2}[/tex3]
[tex3]f'(x)=-24\sqrt{1-8x^2}-\frac{24x}{2\sqrt{1-8x^2}}\cdot(-16x)[/tex3]
[tex3]0=-24\sqrt{1-8x^2}+\frac{24\cdot8x^2}{\sqrt{1-8x^2}}[/tex3]
[tex3]0=-\sqrt{1-8x^2}+\frac{8x^2}{\sqrt{1-8x^2}}[/tex3]
[tex3]0=-(1-8x^2)+8x^2[/tex3]
[tex3]0=-1+8x^2+8x^2[/tex3]
[tex3]1=16x^2[/tex3]
[tex3]x=\pm \frac{1}4[/tex3]

Aplicando em [tex3]y=\sqrt{1-8x^2}[/tex3]:
[tex3]y=\frac{\sqrt2}2[/tex3]

Então temos os pontos [tex3]\left(\frac{1}{4}, \frac{\sqrt2}{2}\right)[/tex3] e [tex3]\left(-\frac{1}{4}, \frac{\sqrt2}{2}\right)[/tex3]

• [tex3]y=-\sqrt{1-8x^2}[/tex3]

[tex3]f(x,y)=8x^2-24xy+y^2[/tex3]
[tex3]f(x,y)=8x^2+y^2-24xy[/tex3]
[tex3]f(x)=1+24x\sqrt{1-8x^2}[/tex3]
[tex3]f'(x)=24\sqrt{1-8x^2}+\frac{24x}{2\sqrt{1-8x^2}}\cdot(-16x)[/tex3]
[tex3]0=24\sqrt{1-8x^2}-\frac{24\cdot8x^2}{\sqrt{1-8x^2}}[/tex3]
[tex3]0=\sqrt{1-8x^2}+\frac{8x^2}{\sqrt{1-8x^2}}[/tex3]
[tex3]0=1-8x^2-8x^2[/tex3]
[tex3]-1=-16x^2[/tex3]
[tex3]1=16x^2[/tex3]
[tex3]x=\pm \frac{1}4[/tex3]

Aplicando em [tex3]y=-\sqrt{1-8x^2}[/tex3]:
[tex3]y=-\frac{\sqrt2}2[/tex3]

Então temos os pontos [tex3]\left(\frac{1}{4},- \frac{\sqrt2}{2}\right)[/tex3] e [tex3]\left(-\frac{1}{4}, - \frac{\sqrt2}{2}\right)[/tex3]

Precisamos verificar quais desses pontos é o mínimo, o máximo e de sela. Pra isso, basta calcular [tex3]f(x,y)[/tex3] em cada um deles:
[tex3]f(x,y)=8x^2-24xy+y^2[/tex3]
[tex3]f(x,y)=8x^2+y^2-24xy[/tex3]
[tex3]f(x,y)=1-24xy[/tex3]

[tex3]f\left(\frac{1}{4},- \frac{\sqrt2}{2}\right)=1-24\cdot\left(\frac{1}{4}\right)\cdot\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=1+3\sqrt2[/tex3]
[tex3]f\left(-\frac{1}{4},- \frac{\sqrt2}{2}\right)=1-24\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)\cdot\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=1-3\sqrt2[/tex3]
[tex3]f\left(\frac{1}{4}, \frac{\sqrt2}{2}\right)=1-24\cdot\left(\frac{1}{4}\right)\cdot\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)=1-3\sqrt2[/tex3]
[tex3]f\left(-\frac{1}{4}, \frac{\sqrt2}{2}\right)=1-24\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)\cdot\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)=1+3\sqrt2[/tex3]

Então [tex3]\left(\frac{1}{4},- \frac{\sqrt2}{2}\right),\left(-\frac{1}{4}, \frac{\sqrt2}{2}\right)[/tex3] são pontos de máximo e [tex3]\left(-\frac{1}{4},- \frac{\sqrt2}{2}\right),\left(\frac{1}{4}, \frac{\sqrt2}{2}\right)[/tex3] são pontos de mínimo.