Física I ⇒ (IPhO) - Gravitação Tópico resolvido

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Um ônibus espacial de massa m está orbitando em torno da Lua (de raio R e aceleração da gravidade igual a g, em sua superfície) em um plano que contém o equador da Lua, a uma altitude h sobre a superfície lunar. Desejando pousar na superfície da Lua, o ônibus espacial diminui instantaneamente sua velocidade (expelindo gases), quando o ônibus espacial passava pela posição X. O pouso pode ser feito por dois diferentes métodos:
Método 1: pousar em a, diametralmente oposto a X, sendo os gases expelidos no sentido contrário ao movimento.
Método 2: pousar em B, sendo os gases expelidos na direção perpendicular ao movimento.
Calcule, para cada método, a velocidade Vx que deve ser adquirida pelo ônibus espacial no ponto X, para poder pousar como requerido.

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Resposta

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1: [tex3]V_x=\sqrt{\frac{2gR^3}{(R+h)(2R+h)}}[/tex3]
2: [tex3]V_x=\sqrt{\frac{g(R^2+h^2)}{R+h}}[/tex3]

[Tassandro]

Zhadnyy,
Para o método 1 basta aplicar a conservação do momento angular e da energia mecânica. Vai ser muito parecido com aquela outra questão de satélite, a diferença é que nesse caso [tex3]v_x=\sqrt\frac{GM}{r_2}\cdot\sqrt\frac{2r_1}{r_1+r_2}[/tex3], sendo [tex3]r_1=R[/tex3] e [tex3]r_2=R+h[/tex3], logo, para o método 1
[tex3]v_x=\sqrt\frac{2gR^3}{(R+h)(2R+h)}[/tex3]
Para esse método 2, temos que [tex3]v_x=\sqrt{v_0^2+Δv^2}[/tex3], sendo [tex3]v_0=R\sqrt\frac{g}{R+h}[/tex3], resta achar o Δv.
Conservação da energia mecânica
[tex3]-\frac{GMm}{R+h}+\frac{m(v_0^2+Δv^2)}2=-\frac{GMm}{R}+\frac{mv_C^2}2[/tex3]
Conservação do momento angular
[tex3]mv_0(R+h)=mv_CR[/tex3]
Isolando o [tex3]v_C[/tex3] nessa última equação e substituindo lá em cima, vem que
[tex3]Δv=h\sqrt\frac{g}{R+h}[/tex3], lembrando sempre que [tex3]g=\frac{GM}{R^2}[/tex3], aí substiuindo lá em cima e usando o valor de [tex3]v_0[/tex3], vem que
[tex3]v_x=\sqrt\frac{g(R^2+h^2)}{R+h}[/tex3]