IME / ITA ⇒ (Escola Naval - 2003) Geometria Espacial Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Com centros nos vértices de um cubo, traçamos oito esferas congruentes cujos raios são iguais à metade da aresta desse cubo. Com centro no ponto de intersecção das diagonais do mesmo cubo, traçamos duas esferas com raios [tex3]R[/tex3] e [tex3]r[/tex3] [tex3](R > r)[/tex3] tangentes às oito esferas anteriores. A razão [tex3]\frac{R}{r}[/tex3] é igual a:

(A) [tex3]\sqrt{3}[/tex3].
(B) [tex3]2\sqrt{3}[/tex3].
(C) [tex3]1+\sqrt{3}[/tex3].
(D) [tex3]2+\sqrt{3}[/tex3].
(E) [tex3]\sqrt{2}+\sqrt{3}[/tex3].

Resposta

---

D

[triplebig]

Oito Esferas.jpg (15.44 KiB) Exibido 1403 vezes

Seja [tex3]d[/tex3] o lado do cubo.

(1) Cálculo de [tex3]r[/tex3]:

O centro do cubo e os centros das esferas formam uma pirâmide, cuja base é quadrada de lado [tex3]d[/tex3] , e as quatro arestas (de verde) medem [tex3]\frac{d}{2}+r[/tex3]. Observe que as mesmas arestas de verde compõe metade da diagonal do cubo:

[tex3]\frac{d}{2}+r=\frac{d\sqrt{3}}{2}\Longleftrightarrow r=\frac{d}{2}\(\sqrt{3}-1\)[/tex3]

(2) Cálculo de [tex3]R[/tex3]:

Os pontos de tangência seguem a propriedade de estar na mesma reta que contem o centro de cada uma das oito esferas. Assim, temos a igualdade:

[tex3]R=r+d[/tex3]

(3) Razão:

Com isso:

[tex3]\frac{R}{r}= \frac{r+d}{r}=\Large\frac{\frac{d}{2}\(\sqrt{3}-1\)+d}{\frac{d}{2}\(\sqrt{3}-1\)}\large =2+\sqrt{3}[/tex3]