IME / ITA ⇒ (Colégio Naval - 1994 ) Geometria plana Tópico resolvido

[agp16]

Um triângulo de vértices [tex3]A[/tex3], [tex3]B[/tex3] e [tex3]C[/tex3], retângulo em [tex3]A[/tex3], os catetos [tex3]\overline{AB}[/tex3] e [tex3]\overline{AC}[/tex3] medem respectivamente [tex3]6\sqrt{3}cm[/tex3] e [tex3]6 cm[/tex3]. Traça-se o segmento [tex3]\overline{AM}[/tex3], com [tex3]M[/tex3] pertencente e interno ao segmento [tex3]\overline{BC}[/tex3]. Sabendo-se que o ângulo [tex3]MAC[/tex3] mede [tex3]15^o[/tex3], a razão entre as áreas dos triângulos [tex3]AMC[/tex3] e [tex3]ABC[/tex3] é :

(a)[tex3]\frac{\sqrt{3} + 1}{2}[/tex3]
(b)[tex3]\frac{\sqrt{3} {-} 1}{2}[/tex3]
(c)[tex3]\frac{\sqrt{3} + 2}{2}[/tex3]
(d)[tex3]\frac{-\sqrt{3} +2}{2}[/tex3]
(e)impossível de se determinar com apenas esses dados

[triplebig]

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Sabemos que o ângulo [tex3]C\hat{B}A=30^\circ[/tex3] , pois [tex3]\text{sen}30^\circ=\frac{6}{12}[/tex3] , e [tex3]A\hat{C}B=60^\circ[/tex3] . Também, [tex3]C\hat{M}A=105^\circ\text{ e }A\hat{M}B=75^\circ[/tex3] . Com isso, [tex3]\triangle AMB[/tex3] é isósceles:

[tex3]12-x=6\sqrt{3}\Longleftrightarrow x=12-6\sqrt{3}[/tex3]

A razão desejada:

[tex3]\frac{[AMC]}{[ABC]}=\frac{\frac{1}{2}\cdot6\cdot(12-6\sqrt{3})\cdot\text{sen}60^\circ}{\frac{6\cdot6\sqrt{3}}{2}}=\frac{(2-\sqrt{3})\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{2}[/tex3]

Letra d)

Ops

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Primeira "resolução" que fiz, tou deixando só pra mostrar que nem sempre a solução sai de primeira

Aplicando a lei dos cosenos para achar [tex3]AM[/tex3] nos triângulos [tex3]\triangle AMC\text{ e }\triangle AMB[/tex3] , teremos duas expressões de valores iguais:

[tex3](12-x)^2+(6\sqrt{3})^2-2(12-x)(6\sqrt{3})\cos30^\circ=6^2+x^2-2\cdot6x\cdot\cos60^\circ\\ 144-24x+x^2+108-18(12-x)=36+x^2-6x\\ 252-24x-216+18x=36-6x\\ 36=36[/tex3]