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Com a intenção de padronizar as barracas dos vendedores ambulantes, a prefeitura da cidade de Eulerópolis solicitou a uma empresa especializada no ramo que fizesse um orçamento do material a ser empregado e do custo para finalização das barracas.

Segue um esboço do que foi apresentado pela empresa:
O ponto O é a projeção ortogonal do ponto V sobre a base hexagonal regular da barraca.

Considere: [tex3]\sqrt{7}[/tex3]= 2,6 e [tex3]\sqrt{2}[/tex3]= 1,4.

No modelo apresentado, a parte hachurada indica onde existe tecido, ou seja, no telhado e na parte de baixo da lateral, ao custo de R$ 2,00 o metro quadrado.

Além disso, em cada aresta está uma barra de alumínio ao custo de R$ 4,00 o metro linear.

Se a empresa cobra uma taxa de mão de obra equivalente a 30% do custo de todo o material gasto, então é correto afirmar que o custo total de uma barraca padrão, em reais, é um número compreendido entre:

(A) 390 e 400.
(B) 401 e 410.
(C) 411 e 420.
(D) 421 e 430

Encontrei alguns erros na minha resolução. Posto novamente depois.

Olá, @onilecra.

Desculpas pela demora em anexar a reformulação da resolução.

Mas uma vez, friso que a resolução autoral do problema está no canal do YouTube: https://youtu.be/dWEoOHogacQ

(DESTACADO EM VERMELHO) Temos um tecido cobrindo o telhado e a lateral hachurada da barraca... Se prestarmos atenção o telhado da barraca é uma pirâmide hexagonal reta, cuja altura mede 2 m e sua base é um hexágono regular!...

Então, a área lateral da pirâmide é a área do telhado coberta com tecido. Dessa forma, temos que calcular a área da face lateral dessa pirâmide (está em vermelho). Então, vamos achar a medida da aresta da pirâmide, com base na figura anexada do comentário anterior.

A altura da pirâmide é igual a 2 m. Como o lado do hexágono mede 2 m, o segmento que vai do centro da base da pirâmide até o vértice do hexágono, também mede 2 m, pois o hexágono regular é formado por 6 triângulos equiláteros

Então, pelo teorema de Pitágoras, vamos achar a medida da aresta da pirâmide....
(DESTACADO EM AZUL) Agora, tomando um triângulo da face lateral da pirâmide, teremos: Dessa forma, novamente pelo Teorema de Pitágoras, a altura da face triangular do telhado.

A área de um triângulo que compõe o telhado é:

A [tex3]\Delta [/tex3] eq. = [tex3]\frac{2\sqrt{7}}{2} = \sqrt{7}[/tex3] [tex3]\rightarrow [/tex3] [tex3]A_{sup}[/tex3]= 6 [tex3]\sqrt{7}[/tex3]=6.2,6=15 m².

(DESTACADO EM LARANJA) Ainda falta calcularmos a área da parte debaixo da barraca!... Essa parte é composta por 6 retângulos de dimensões (2 x 1) m... Oras, a área dessa parte é:


A quantidade de tecido utilizada foi de 15,6+12=27,6m²... Como o preço do metro quadrado do tecido era R$ 2,00, então foi gasto um total de 2.27,6=55,20 reais com tecido!...

Agora, observando o desenho da barraca, temos 18 arestas de alumínio de 2 m cada na horizontal... Temos 6 arestas de alumínio de 2 m cada na vertical e, temos 6 arestas de 2 [tex3]\sqrt{2}[/tex3]=2×1,4=2,8m no telhado!... Então, o comprimento total de arestas de alumínio é:

18×2+6×2+6×2,8=36+12+16,8=64,8m

O metro linear da aresta de alumínio custava R$ 4,00... Então, com as arestas de alumínio foram gastos:

64,8×4=259,20reais

Sabendo que em cima do preço total, a empresa cobra uma taxa de 30% referente à mão de obra, então o custo total foi:

taxade30%sobreototal

130%de(259,20+55,20)

1,30×314,40=408,72reais