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Provar que a reta paralela as bases de um trapézio que o divide em outros dois trapézios de mesma área vale, em função das bases: [tex3]c=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}[/tex3]

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Observe que:

[tex3]Area_{ABNM}=\frac{(a+c)d}{2}[/tex3]

[tex3]Area_{MNCD}=\frac{(c+b)e}{2}[/tex3]

E também que:

[tex3]\frac{(a+c)d}{2}=\frac{(c+b).e}{2}[/tex3]
[tex3](a+c)d=(c+b)e[/tex3]
[tex3]\boxed{\frac{e}{d}=\frac{(a+c)}{(c+b)}}[/tex3]

Perceba também que:

[tex3]Area_{ABCD}=\frac{(a+b)(d+e)}{2}[/tex3]

Portanto

[tex3]\frac{(a+b)(d+e)}{2}=2.\frac{(a+c)d}{2}[/tex3]

[tex3](a+b)(d+e)=2d(a+c)[/tex3]

[tex3]\frac{2(a+c)}{(a+b)}=\frac{(d+e)}{d}[/tex3]

[tex3]\frac{2(a+c)}{(a+b)}=1+\frac{(a+c)}{(b+c)}[/tex3]

[tex3]\frac{2(a+c)}{(a+b)}=\frac{(2c+a+b)}{(b+c)}[/tex3]

[tex3]2(a+c)(b+c)=(2c+a+b)(a+b)[/tex3]

[tex3]2ab+2ac+2cb+2c^2=2ac+a^2+ab+2cb+ab+b^2[/tex3]

[tex3]2c^2=a^2+b^2[/tex3]

[tex3]c^2=\frac{a^2+b^2}{2}[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{\boxed{c=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}}}}[/tex3]


Att L.O

Olá [user]KashinKoje[/user]. Outra demonstração seria a seguinte:
Na figura [tex3]P=AD \cap BC[/tex3]. Denote por [tex3]T=[APB][/tex3] e [tex3]A=[ABNM]=[MNCD].[/tex3] É imediato que [tex3]\triangle APB \sim \triangle MPN[/tex3] cuja razão de semelhança é [tex3]\dfrac{a}{c}.[/tex3] Assim [tex3]\dfrac{[APB]}{[
PMN]}=\dfrac{a^2}{c^2}[/tex3] ou seja [tex3]\dfrac{T}{T+A}=\dfrac{a^2}{c^2}[/tex3] segue que [tex3]\boxed{\boxed{\dfrac{T}{A}=\dfrac{a^2}{c^2-a^2}}}[/tex3]

Também temos que [tex3]\triangle APB \sim DPC[/tex3] com razão de semelhança [tex3]\dfrac{a}{b}.[/tex3] Então [tex3]\dfrac{[APB]}{[DPC]}=\dfrac{b^2}{c^2}[/tex3] ou seja [tex3]\dfrac{T}{T+2A}=\dfrac{a^2}{b^2}[/tex3] isto é [tex3]\dfrac{T}{2A}=\dfrac{a^2}{b^2-a^2}[/tex3] donde [tex3]\boxed{\boxed{\frac{T}A=\dfrac{2a^2}{b^2-a^2}}}[/tex3]

Decorre que [tex3]\dfrac{\cancel {a^2}}{c^2-a^2}=\frac{2\cancel{a^2}}{b^2-a^2}[/tex3] ou seja [tex3]c^2=\dfrac{a^2+b^2}{2}[/tex3] como [tex3]c[/tex3] é uma medida vem [tex3]c=\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}~~~~ \blacksquare[/tex3]