Demonstrações ⇒ Construir um terceiro círculo tangente a outros dois também tangentes entre si e todos tangentes a uma reta

[FelipeMartinMOD]

Vou demonstrar uma maneira simples de construir (com régua e compasso) um terceiro círculo [tex3]\gamma[/tex3] tangente exteriormente a outros dois dados ([tex3]\gamma_1, \gamma_2[/tex3], também tangentes exteriormente) de forma que os três círculos sejam tangentes a uma mesma linha [tex3]r[/tex3], o que irá exibir algumas propriedades dessa configuração.

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Os raios dos círculos - já foi demonstrado aqui que - obedecem a relação [tex3]\frac1{\sqrt R} = \frac1{\sqrt R_1} + \frac1{\sqrt R_2}[/tex3] ([tex3]R[/tex3] é o raio de [tex3]\gamma[/tex3], [tex3]R_1[/tex3] e [tex3]R_2[/tex3] os raios de [tex3]\gamma_1[/tex3] e [tex3]\gamma_2[/tex3] respectivamente).

Na figura:
[tex3]A = \gamma_1 \cap r[/tex3].
[tex3]B = \gamma_2 \cap r[/tex3].
[tex3]C[/tex3] é o antípoda de [tex3]A[/tex3] em [tex3]\gamma_1[/tex3].
[tex3]D[/tex3] é o antípoda de [tex3]B[/tex3] em [tex3]\gamma_2[/tex3].
[tex3]T = \gamma_1 \cap \gamma_2[/tex3].
[tex3]E = \gamma \cap \gamma_2[/tex3].
[tex3]F = \gamma \cap r[/tex3].

Teorema 1: [tex3]C,T,B[/tex3] são alinhados.

Prova: [tex3]\gamma_1[/tex3] e [tex3]\gamma_2[/tex3] são homotéticos por [tex3]T[/tex3], como as retas tangentes em [tex3]B[/tex3] (em [tex3]\gamma_2[/tex3]) e em [tex3]C[/tex3] (em [tex3]\gamma_1[/tex3]) são paralelas entre si por serem paralelas a [tex3]r[/tex3] então a homotetia leva [tex3]B[/tex3] em [tex3]C[/tex3] e vice-versa (Lema 3 do tópico de homotetia), logo [tex3]C,T,B[/tex3] são alinhados.

Teorema 2: [tex3]\overline{CE} = \overline{CA}[/tex3].

Prova: Seja [tex3]c[/tex3] o círculo centrado em [tex3]C[/tex3] passando por [tex3]A[/tex3]. Vamos considerar a inversão de [tex3]\gamma_1[/tex3] com relação ao círculo [tex3]c[/tex3]: segundo o item 13 daqui temos que o inverso de [tex3]\gamma_1[/tex3] é uma reta passando por [tex3]A[/tex3] perpendicular a [tex3]AC[/tex3] ou seja: [tex3]r[/tex3]. Então [tex3]\gamma_1[/tex3] será transformado em [tex3]r[/tex3] e a reta [tex3]r[/tex3] será transformada em [tex3]\gamma_1[/tex3]. Do item 14 sabemos que o inverso de [tex3]\gamma_2[/tex3] será um círculo e do alinhamento de [tex3]C,T,B[/tex3] só podemos ter que a imagem de [tex3]B[/tex3] é [tex3]T[/tex3] e vice-versa o que implica que [tex3]\gamma_2[/tex3] é inalterado durante a inversão pois ainda é um círculo tangente a [tex3]r[/tex3] e [tex3]\gamma_1[/tex3] passando por [tex3]B[/tex3] e [tex3]T[/tex3]. Sendo assim, [tex3]\overline{CT} \cdot \overline{CB} = r_c^2 = \overline{CA}^2 = (2R_1)^2[/tex3].
A inversão também preserva [tex3]\gamma[/tex3] pois preserva as tangências e preservou [tex3]r,\gamma_1[/tex3] e [tex3]\gamma_2[/tex3]. Logo o ponto de contato de [tex3]\gamma \cap \gamma_2 = E[/tex3] é preservado na inversão mas os únicos pontos que não se movem na troca estão sobre o círculo. Logo [tex3]E \in c \iff \overline{CE} = \overline{CA} = 2R_1[/tex3].

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Resposta

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Este resultado pode ser interpretado como uma extensão do resultado obtido em uma cadeia de círculos tangentes como os da figura:
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A construção então fica trivial: deixe [tex3]E = \gamma_2 \cap c[/tex3] (abaixo do segmento [tex3]BT[/tex3] apesar de o outro ponto de encontro dar a segunda solução para o problema) deixe [tex3]F = DE \cap r[/tex3], basta então deixar a mediatriz de [tex3]EF[/tex3] encontrar com a reta perpendicular a [tex3]r[/tex3] por [tex3]F[/tex3] no centro [tex3]O[/tex3] de [tex3]\gamma[/tex3] e traçar o círculo centrado em [tex3]O[/tex3] passando por [tex3]E[/tex3].