(OBM 2005) Teoria dos Números

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Auto Excluído (ID: 24633)

Ago 2020 12 15:51

(OBM 2005) Teoria dos Números

Mensagempor Auto Excluído (ID: 24633) » 12 Ago 2020, 15:51

Mensagem por Auto Excluído (ID: 24633) » 12 Ago 2020, 15:51

Dados os inteiros positivos [tex3]a, c[/tex3] e o inteiro [tex3]b[/tex3], prove que existe um inteiro positivo [tex3]x[/tex3] tal que [tex3]a^x+x \equiv b \pmod c.[/tex3]

Editado pela última vez por Auto Excluído (ID: 24633) em 12 Ago 2020, 15:56, em um total de 1 vez.

Auto Excluído (ID: 24633)

Auto Excluído (ID: 25040)

Dez 2020 21 17:31

Re: (OBM 2005) Teoria dos Números

Mensagempor Auto Excluído (ID: 25040) » 21 Dez 2020, 17:31

Mensagem por Auto Excluído (ID: 25040) » 21 Dez 2020, 17:31

........................up........................

Auto Excluído (ID: 25040)

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(OBM - 2005) Teoria dos Números

Últ. msg por triplebig « 06 Out 2007, 21:59
Enviado em Olimpíadas
Resp.: 3
por aristotélico » 06 Out 2007, 19:50 » em Olimpíadas

Primeira Postagem

aristotélico

Prove que o número [tex3]1^{2005} + 2^{2005} + 3^{2005} + ... + 2005^{2005}[/tex3] é múltiplo de [tex3]1 + 2 + 3 + ... + 2005[/tex3] .

Últ. msg

triplebig

Ola aristotélico,

A resolução desta questão precisa de um conhecimento de módulos.

Vou falar que [tex3]S=1^{2005}+2^{2005}+3^{2005}+4^{2005}+...+1002^{2005}+1003^{2005}+1004^{2005}+...+2005^{2005}[/tex3]

[tex3]1+2+3+4+5+6....+2005=\frac{(1+2005)(2005)}{2}=(1003)(2005)[/tex3]...
aristotélico2Alexandre_SC1triplebig1: 3 Resp.; 2444 Exibições; Últ. msg por triplebig
06 Out 2007, 21:59

(OBM - 2007) Teoria dos Números

Últ. msg por theblackmamba « 17 Dez 2011, 23:12
Enviado em Olimpíadas
Resp.: 1
por Auto Excluído (ID:276) » 05 Nov 2007, 21:26 » em Olimpíadas

Primeira Postagem

Auto Excluído (ID:276)

Mostre que existe um número inteiro [tex3]a[/tex3] tal que [tex3]\frac{a^{29} - 1}{a - 1}[/tex3] tem pelo menos 2007 fatores primos distintos.

Últ. msg

theblackmamba

Solução da banca:

[tex3]\frac{(a^2)^{29} - 1}{a - 1} = \frac{a^{29} + 1}{a + 1} \ \cdot \ \frac{a^{29} - 1}{a - 1}[/tex3]

Sabemos que: [tex3]a^{29} + 1 = (a + 1)(a^{28} - a^{27} + a^{26} - ... - a + 1)[/tex3] e [tex3]a^{29} - 1 = (a - 1)(a^{28} + a^{27} + ... + a + 1)[/tex3]...
theblackmamba1Auto Excluído (ID:276)1: 1 Resp.; 1695 Exibições; Últ. msg por theblackmamba
17 Dez 2011, 23:12

(OBM - 2004) Teoria dos Números

Últ. msg por triplebig « 22 Nov 2007, 14:39
Enviado em Olimpíadas
Resp.: 2
por rean » 22 Nov 2007, 13:09 » em Olimpíadas

Primeira Postagem

rean

Dizemos que um número natural é composto quando pode ser escrito como produto de dois números naturais maiores que [tex3]1,[/tex3] assim por exemplo [tex3]91[/tex3] é composto podemos escrevê-lo [tex3]91=7\times 13[/tex3].
Mostre que o número [tex3]2^{(2^{2004}+2)}+1[/tex3] é composto.

Últ. msg

triplebig

[tex3]2^{2004}[/tex3] Vai dar um número divisível por 4 que termina em 6. Adicionando 2, vai dar um número que termina em 8 que não é divisível por 4.

Ai 2 elevado a um número que é par mas não divisível por 4 termina em 4.

Esse numero somado com...
John1rean1triplebig1: 2 Resp.; 2076 Exibições; Últ. msg por triplebig
22 Nov 2007, 14:39

OBM - Teoria dos números

Últ. msg por Abelardo « 06 Mai 2011, 14:09
Enviado em Olimpíadas
Resp.: 10
por Abelardo » 21 Abr 2011, 00:03 » em Olimpíadas

1

2

Primeira Postagem

Abelardo

Seja p o maior fator primo do número N = 512^3 + 675^3 + 720^3. A soma dos algarismos de p é igual a:

a) 13
b) 14
c) 15
d) 16
e) 17

Tentei fazer a questão. Primeiro fatorei as três parcelas, depois procurei fatores em comum... mas não deu certo....

Últ. msg

Abelardo

Muito obrigado pela colaboração de todos. Tentarei, filipecaceres, demonstrar aquela identidade inicial, se não conseguir pedirei sua ajuda em outro post. Analisei a questão no Wolfram e está de acordo com o que o amigo ''lftm'' disse.
FilipeCaceres5Abelardo3lftm2Auto Excluído (ID:276)1: 10 Resp.; 2220 Exibições; Últ. msg por Abelardo
06 Mai 2011, 14:09

(OBM - 2003) Teoria dos Números

Últ. msg por Auto Excluído (ID: 23699) « 23 Out 2021, 12:37
Enviado em Olimpíadas
Resp.: 1
por jade » 18 Out 2011, 16:24 » em Olimpíadas

Primeira Postagem

jade

Quantas vezes o algarismo [tex3]9[/tex3] aparece na operacão [tex3]10^{100}-2003[/tex3] ?

Últ. msg

Auto Excluído (ID: 23699)

Começando do mais fácil
10^4 = 10000
10^4 - 2003 = 7997
10^5 - 2003 = 97997
10^6 - 2003 = 997997

Então seja 10^k
Quando k = 4, temos 2 numeros 9
Quando k = 5, temos 3 números 9
Quando k = 6, temos 4 números 9
Então, pela similaridade da operação,...
jade1Auto Excluído (ID: 23699)1: 1 Resp.; 990 Exibições; Últ. msg por Auto Excluído (ID: 23699)
23 Out 2021, 12:37

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