Olimpíadas ⇒ (Torneio das Cidades 1997) Teoria dos Números Tópico resolvido

[GSazevedo]

Sejam [tex3]a,b[/tex3] inteiros positivos tais que [tex3]a^2+b^2[/tex3] é divisível por [tex3]ab[/tex3]. Mostre que [tex3]a=b[/tex3].

[Auto Excluído (ID: 24633)]

Seja [tex3]d=mdc(a,b).[/tex3] Podemos escrever [tex3]a=dx[/tex3] e [tex3]b=dy[/tex3] onde [tex3]x,y \in \mathbb{Z_{>0}}[/tex3] e coprimos.
Temos que [tex3]ab \mid a^2+b^2[/tex3] então [tex3]d^2xy \mid d^2(x^2+y^2)[/tex3] ou seja [tex3]xy \mid x^2+y^2.[/tex3] Então [tex3]x \mid xy \mid x^2+y^2.[/tex3] Mas claramente [tex3]x \mid x^2[/tex3] então [tex3]x \mid y^2=1\cdot y\cdot y[/tex3] porém [tex3]mdc(x,y)=1[/tex3] então [tex3]x \mid 1[/tex3] logo [tex3]x=1[/tex3] já que [tex3]x[/tex3] é inteiro positivo ( aqui eu usei o resultado que diz que se [tex3]a \mid bc[/tex3] e [tex3]mdc(a,b)=1[/tex3] então [tex3]a \mid c.)[/tex3]
Analogamente prova-se que [tex3]y=1[/tex3] então [tex3]a=b[/tex3] como queríamos demonstrar.


O resultado sobre divisibilidade que eu falei, é provado por mim neste post viewtopic.php?f=20&t=85887 ao qual eu me refiro como lema 1 na segunda mensagem. Outro fato que eu usei é o que [tex3]mdc(x,y)=1[/tex3] este fato é muito bem provado pelo @goncalves3718 neste post viewtopic.php?p=220230#p220230 ao qual ele se refere como lema 1

[GSazevedo]

Muito obrigada!! )