IME / ITA ⇒ (Escola Naval-2011) Trigonometria Tópico resolvido

[JohnnyEN]

Considere S, a soma das raízes da equação trigonométrica [tex3]4 sen^{3}x -5 sen x - 4cos^{3}x + 5 cosx = 0 [/tex3] no intervalo [tex3][0, \frac{\pi }{2}][/tex3] qual o valor de [tex3]\tan S + cossec2S[/tex3]?

A) 2
B) 1
C) 0
D) -1
E) -2

Resposta

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GAB: E

[Ittalo25MOD]

[tex3]4 (sen^{3}x-cos^3x) = 5 (sen x - cosx) [/tex3]
[tex3]4 (senx-cosx)(sen^2x+cos^2x+senxcosx) = 5 (sen x - cosx) [/tex3]
[tex3]4 (senx-cosx)(1+senxcosx) = 5 (sen x - cosx) [/tex3]

[tex3]senx = cosx\rightarrow x = \frac{\pi}{4} [/tex3] é solução, além disso:

[tex3]4 (senx-cosx)(1+senxcosx) = 5 (sen x - cosx) [/tex3]
[tex3]4(1+senxcosx) = 5 [/tex3]
[tex3]senxcosx = \frac{1}{4} [/tex3]
[tex3]sen(2x) = \frac{1}{2} [/tex3]

[tex3]2x = \frac{\pi}{6}\rightarrow x = \frac{\pi}{12} [/tex3]
[tex3]2x = \frac{5\pi}{6}\rightarrow x = \frac{5\pi}{12} [/tex3]


Portanto [tex3]S = \frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{12}+\frac{5\pi}{12} = \frac{3\pi}{4} [/tex3]

Sendo assim: [tex3]\tan S + cossec2S = -1-1 = \boxed {-2}[/tex3]

[brilhante20]

como assim senx=cosx??? qual foi o raciocinio???

[LostWalker]

brilhante20, vindo da outra explicação e achei outra dúvida sua :v

Nesse caso, isso é "uma solução", não se da para afirmar que é a única, mas com certeza essa é solução, veja que:

[tex3]4{\color{JungleGreen}(\sen x-\cos x)}(\sen^2x+\cos^2x+\sen x\cos x) = 5{\color{JungleGreen}(\sen x-\cos x)}[/tex3]


Esse mesmo fator está multiplicando dos dois lado, logo, se ele for [tex3]0[/tex3], os dois lados zeram. Outra forma mais familiar de enxergar isso seria deixando tudo do mesmo lado:

[tex3]4{\color{JungleGreen}(\sen x-\cos x)}(\sen^2x+\cos^2x+\sen x\cos x) = 5{\color{JungleGreen}(\sen x-\cos x)}[/tex3]

[tex3]4{\color{JungleGreen}(\sen x-\cos x)}(\sen^2x+\cos^2x+\sen x\cos x) - 5{\color{JungleGreen}(\sen x-\cos x)}=0[/tex3]

[tex3]{\color{JungleGreen}(\sen x-\cos x)}\[4(\sen^2x+\cos^2x+\sen x\cos x)-5\]=0[/tex3]


Ou seja, se o termo for igual a [tex3]0[/tex3], temos uma solução, o que nos leva a:

[tex3]\sen x-\cos x=0[/tex3]


[tex3]\boxed{\sen x=\cos x\!{\phantom{|}}}[/tex3]

[brilhante20]

Obrigada!!!!!!!!!!!!!!!!!

[OVencedor]

Alguém poderia me explicar o porque de inserir como solução 5pi/12 sendo que o enunciado limita o conjunto S em [0,pi/2]?

[petrasMOD]

OVencedor,
????
E [tex3]\frac{5\pi}{12}[/tex3] está em qual intervalo?

[LucasDN684]

Alguém poderia me explicar o porque de inserir como solução 5pi/12 sendo que o enunciado limita o conjunto S em [0,pi/2]?

[tex3]\frac{5\pi }{12}< \frac{6\pi }{12}=\frac{\pi }{2}[/tex3]

Sempre que for assim você faz isso pra um valor fácil de analisar.