Ensino Superior ⇒ Alguma alma me ajuda a lembrar sobre fatoração? Tópico resolvido

[Shadowgal99]

Eu estava resolvendo uma questão de transformada de laplace e estava quase terminando quando eu me deparo com essa expressão:


ℒ{[tex3]y[/tex3]} = [tex3]\frac{2s+9}{(s+4)^{2}}[/tex3];

Então, eu esqueci como se resolve esse tipo de faturação, já que as raizes não são diferentes , alguém pode me ajudar a lembrar?

[AnthonyC]

[tex3]\mathcal{L}\{y\}=\frac{2s+9}{(s+4)^{2}}[/tex3]
[tex3]\mathcal{L}\{y\}=\frac{2s+8+1}{(s+4)^{2}}[/tex3]
[tex3]\mathcal{L}\{y\}=\frac{2s+8}{(s+4)^{2}}+\frac{1}{(s+4)^{2}}[/tex3]
[tex3]\mathcal{L}\{y\}=2\cdot\frac{s+4}{(s+4)^{2}}+\frac{1}{(s+4)^{2}}[/tex3]
[tex3]\mathcal{L}\{y\}=2\cdot\frac{1}{(s+4)}+\frac{1}{(s+4)^{2}}[/tex3]

O 1º Teorema do Deslocamento nos diz que:
[tex3]\mathcal {L}\{e^{ct}f(t)\} = F(s − c)\implies \mathcal {L}^{-1}\{ F(s − c)\}=e^{ct}f(t) [/tex3]

Podemos verificar que, se desconsiderarmos o "+4", obteríamos funções tais que conhecemos suas inversas:
[tex3]\mathcal{L}\{y\}=2\cdot\frac{1}{s}+\frac{1}{s^{2}}[/tex3]
Assim, podemos aplicar o Teorema, encontrando a Laplace inversa dessas novas funções e no final multiplicarmos por [tex3]e^{ct}[/tex3], em que [tex3]c=-4[/tex3].
[tex3]\mathcal{L}\{y\}=2\cdot\frac{1}{s}+\frac{1}{s^{2}}[/tex3]
[tex3]y=\mathcal{L}^{-1}\left\{2\cdot\frac{1}{s}+\frac{1}{s^{2}}\right\}[/tex3]
Usando a Linearidade do operador:
[tex3]y=2\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s}\right\}+\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^{2}}\right\}[/tex3]
[tex3]y=2\cdot1+t[/tex3]
[tex3]y=2+t[/tex3]
Pelo Teorema, temos:
[tex3]y=2e^{-4t}+te^{-4t}[/tex3]

[Shadowgal99]

Arigatou, Anthony-Sensei