Estude! Com Prof. Caju

[tex3]\int\frac{x+2}{x^3(x-1)}dx[/tex3]

Resposta:

[tex3]\frac{1}{x^2}+\frac{3}{x} - 3ln|x|+3ln|x-1|+c[/tex3]

[tex3] \frac{x+2}{x^{3}(x-1)}=\frac{x-1-3\left( x^{3}-1 \right)+3x^{3}}{x^{3}(x-1)} \\ =\frac{(x-1)\left( 1-3x^{2}-3x-3 \right)+3x^{3}}{x^{3}(x-1)} \\ =\frac{3}{x-1}-\frac{3x^{2}+3x+2}{x^{3}} \\ =\frac{3}{x-1}-\frac{3}{x}-\frac{3}{x^{2}}-\frac{2}{x^{3}}[/tex3]

Agora basta resolver as integrais, se não conseguir avisa que eu tento resolver

[tex3]\frac{ax^2+bx+c}{x^3}+\frac{d}{x-1}=\frac{x+2}{x^2(x-1)} \, \Rightarrow \Rightarrow \, ax^3-ax^2+bx^2-bx+cx-c+dx^3=x+2 \, \Rightarrow \, (a+d)=(b-a)=0 \,\, e\,\,(-c)=2(c-b)=2[/tex3]

Resolvendo achamos [tex3]a=b=-d=-3 \,\, e \,\, c=-2[/tex3]

Assim fica [tex3]\int -\frac{3x^2}{x^3}-\frac{3x}{x^3}-\frac{2}{x^3}+\frac{3}{x-1} dx=\int -\frac{3}{x} -\frac{3}{x^2}-\frac{2}{x^3}+\frac{3}{x-1} dx=-3\ln {|x|}+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}+3\ln {|x-1|}[/tex3]