Concursos Públicos ⇒ (Prof. Mat. PE 2008) Porcentagem Tópico resolvido

[pmribeiros]

A taxa T na qual as pessoas de uma população (P) são implicadas num escândalo político é simultaneamente proporcional ao número de pessoas já implicadas e ao número de pessoas envolvidas (E) que não estão implicadas. Ao expressarmos essa taxa em função do número de pessoas implicadas, podemos observar que a taxa máxima ocorre quando o número de pessoas envolvidas for X% de P. Nessas condições, o percentual é de

A) 20%
B) 30% D) 50%
C) 40% E) 60%

Gabarito

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D

[cajuADMIN]

Olá pmribeiros,

Vou começar dando uma breve explicada na historinha descrita.

A população [tex3]P[/tex3] é dividida em pessoas implicadas ([tex3]I[/tex3]) e pessoas envolvidas mas não implicadas ([tex3]E[/tex3]) em um escândalo político. Assim, podemos escrever nossa primeira equação:

[tex3]P=I+E\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{E=P-I}[/tex3] (1)

A taxa [tex3]T[/tex3] é dita ser simultaneamente proporcional ao número de pessoas já implicadas ([tex3]I[/tex3]) e ao número de pessoas envolvidas mas não implicadas ([tex3]E[/tex3]). Ou seja:

[tex3]T\propto I\cdot E[/tex3]

Digamos que a taxa de proporcionalidade seja [tex3]a[/tex3]. Assim, podemos escrever nossa segunda equação:

(2) [tex3]T=a\cdot I\cdot E[/tex3]

Substituindo (1) em (2) temos:

[tex3]T=a\cdot I\cdot(P-I)\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{T=-a\cdot I^2+a\cdot P\cdot I}[/tex3] (3)

Ou seja, esta é a taxa em função do número de pessoas implicadas. A taxa máxima irá ocorrer no [tex3]I_v[/tex3]:

[tex3]I_v=\frac{-a\cdot P}{2\cdot(-a)}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{I=\frac P2}[/tex3] (4)

Substituindo (4) em (1) chegamos em:

[tex3]E=\frac P2\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{E=\frac{50}{100}\cdot P}[/tex3]

Ou seja, o número de pessoas envolvidas é [tex3]50\%[/tex3] de [tex3]P[/tex3].