Pré-Vestibular ⇒ UFSC 2019 - Números Complexos Tópico resolvido

[Bartolomeu]

Considere as afirmativas:

04. O conjunto {z [tex3]\in [/tex3] C; |z+3i|=1 } possui dois elementos.

16. Se [tex3]i[/tex3] é a unidade imaginária, então [tex3]\frac{(1+i)15}{(1-i)13}[/tex3] é um número real negativo.

Alguém poderia demonstrar a resolução?

Resposta

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Ambas falsas

[gustavo2020]

04) Para o módulo de [tex3]z+3i[/tex3] ser igual a 1, este número pode ser 1, -1, i e -i, pois todos têm o módulo igual a 1. Portanto, há mais que dois valores de z que tornam essa expressão verdadeira, e a afirmativa é falsa.

16) [tex3]\frac{15(1+i)}{13(1-i)}=\frac{15(1+i)}{13(1-i)}\cdot \frac{1+i}{1+i}=\frac{15(1+2i-1)}{13(1+1)}=\frac{15}{13}i[/tex3]
Logo, esse número não é real e essa afirmativa também é falsa.

[TakeMeDown]

Bartolomeu,

04. Seja z = x + yi

|x + yi + 3i| = 1 ---> x² + (y + 3)^2 = 1

Os afixos de z descrevem um circunferência de raio unitário centrada em (0, -3).

Há infinitos z satisfazendo a condição.

16. [tex3]\frac{(1+i)15}{(1-i)13}=\frac{15}{13}.\frac{(1+i).(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{15}{13}.\frac{2i}{2}=\frac{15i}{13}[/tex3].

Abs