Concursos Públicos ⇒ (Prof. Mat. PE 2008) Maior renda possível Tópico resolvido

[pmribeiros]

Uma farmácia vende 124 unidades de um determinado produto por mês, ao preço de R$ 1.500,00. Estima-se, que, se aumentasse R$ 100,00 no preço unitário, 4 unidades deixariam de ser vendidas mensalmente. O proprietário da farmácia deseja saber o preço (p) e quantas unidades mensais (q) devem ser vendidas, de uma única vez, ao invés de aumentar o preço da venda, em parcelas de R$ 100,00, de modo que sua renda seja a maior possível.
A) p = R$ 2000,00 e q = 82
B) p = R$ 2300,00 e q = 92
c) p = R$ 2000,00 e q = 104
d) p = R$ 1000,00 e q = 64
E) p = R$ 2000,00 e q = 84

Gabarito

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B

[cajuADMIN]

Olá pmribeiros,

Achei o enunciado desta questão um pouco ruim de ser entendido. Mais especificamente, achei a frase "em parcelas de R$100,00" fora do contexto. Ou seja, ignorei ela e resolvi a questão.

O exercício diz que quando [tex3]p=1500[/tex3] temos [tex3]q=124[/tex3] e quando [tex3]p=1600[/tex3] (aumento de R$100,00) temos [tex3]q=120[/tex3] (diminuição de 4 unidades). Com esta informação, podemos concluir que existe uma relação linear entre o preço e a quantidade vendida (digo linear pois não é quadrática). Assim, podemos encontrar uma função do primeiro grau que relaciona o preço [tex3]p[/tex3] e a quantidade vendida [tex3]q[/tex3].

[tex3]p=a\cdot q+b[/tex3]

Onde [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] são os coeficientes da função do primeiro grau a serem encontrados ainda. Iremos calculá-los substituindo os dois valores de [tex3]p[/tex3] e [tex3]q[/tex3] dados no enunciado.

[tex3]\{1500=a\cdot 124+b\\1600=a\cdot 120+b[/tex3]

Resolvendo este sistema encontramos [tex3]a=-25[/tex3] e [tex3]b=4600[/tex3]. Ou seja, a relação entre [tex3]p[/tex3] e [tex3]q[/tex3] é:

[tex3]\boxed{p=-25\cdot q+4600}[/tex3]

O exercício pede a renda máxima. Sabemos que a renda é dada pelo produto da quantidade vendida pelo preço unitário, ou seja:

[tex3]\text{renda}=p\cdot q[/tex3]

Substituindo o valor de [tex3]p[/tex3] pela função encontrada anteriormente:

[tex3]\text{renda}=(-25\cdot q+4600)\cdot q[/tex3]

[tex3]\boxed{\text{renda}=-25\cdot q^2+4600\cdot q}[/tex3]

Se o exercício quer saber a quantidade vendida para se ter a renda máxima, ele quer a abscissa do vértice ([tex3]q_v[/tex3]):

[tex3]q_v=\frac{-4600}{2\cdot(-25)}=92[/tex3]

E, pela fórmula [tex3]p=-25\cdot q+4600[/tex3] temos que [tex3]p=-25\cdot 92+4600=2300[/tex3]. Isso nos leva à resposta letra B.