Pré-Vestibular ⇒ Esfera inscrita em cubo (UFAM PSC 2013/2)

[albeistein]

Uma esfera está inscrita num cubo, conforme a figura a seguir. Sendo M e N pontos médios das arestas e a distância entre eles igual a [tex3]\frac{\sqrt{6}}{2} cm[/tex3], então o volume da esfera é:

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a) [tex3]2\sqrt{3}\pi cm^3[/tex3]
b) [tex3]2\pi cm^3[/tex3]
c)[tex3]\pi cm^3[/tex3]
d) [tex3]\frac{\sqrt{3}}{2}\pi cm³[/tex3]
e) [tex3]\sqrt{6} \pi cm^3[/tex3]

Resposta

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D

Tenho p mim que o gabarito está errado.

[petrasMOD]

albeistein,

[tex3]V = \frac{4\pi r^3}{3}\\
r = \frac{a}{2}\\
\left(\frac{a}{2}\right)^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2=\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^2\rightarrow \\
\frac{2a^2}{4}=\frac{6}{4}\rightarrow a = \sqrt{3}\rightarrow r = \frac{\sqrt{3}}{2}\\
\therefore V=\frac{4\pi}{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3=\frac{4\pi}{3}.\frac{3\sqrt{3}}{8}=\\
\boxed{\color{red}V=\frac{\sqrt{3}\pi}{2}}[/tex3]