IME / ITA ⇒ (IME - 1970) Série Infinita Tópico resolvido

[alineMOD]

Calcule [tex3]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}.[/tex3]


Oi, essa é outra que nem consegui imaginar o início.
obrigada

[bigjohn]

Falaí Aline,

Sabe, eu vi essa questão um tempinho atrás. Pra resolver ela, tem que ter uma carteação muito sinistra. Até queria aproveitar e perguntar se alguém sabe como explicar como chegar nessa carteada usando raciocínio.
Mas vamos lá pra mágica. Tem que saber a igualdade:

• [tex3]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}- \frac{1}{n+1}[/tex3]

Daí se a gente substituir os valores de [tex3]n[/tex3] a gente vê:

• [tex3]\left( \frac{1}{1}-\frac{1}{2} \right)+\left( \frac{1}{2}-\frac{1}{3} \right)+\left( \frac{1}{3}-\frac{1}{4} \right)+\left( \frac{1}{4}-\frac{1}{5} \right)+\ldots[/tex3]

Daí você vê que os termos vão se anulando todos a partir do [tex3]\frac{1}{2}.[/tex3]
O [tex3]1[/tex3] é o único que fica. Resposta final.

Mas fica a pergunta, como se faz para a carteação virar raciocínio?

vlw

[Yuri]

Saudações,

Olha o meu professor me explicou essa matéria recentemente e não falou nada sobre carteação.
Abraço.

[bigjohn]

Oi Yuri, o que eu quis dizer com carteação é saber a igualdade:

• [tex3]\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n}- \frac{1}{n+1}[/tex3]

Para mim não parece ser natural parir essa igualdade, por isso que eu disse que é uma mágica, uma carteação.
Como é que o teu professor explicou pra você essa matéria? Ah, e que matéria é essa? Somatórios?

[cajuADMIN]

Olá bigjohn,

Na verdade, essa carteação tem uma explicação bem legal. Na cadeira de cálculo da faculdade você irá aprender, se chama frações parciais.

Faz-se assim:

• [tex3]\frac{1}{n(n+1)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n+1}[/tex3]

Agora o teu objetivo é descobrir quanto vale [tex3]A[/tex3] e [tex3]B,[/tex3] que são números inteiros. Calcule o [tex3]\text{mmc}[/tex3] do lado direito:

• [tex3]\frac{1}{n(n+1)}=\frac{(A+B) \cdot n +B}{n(n+1)}[/tex3]

Agora dá pra fazer igualdade de polinômios entre os polinômios do numerador:

• [tex3]A + B = 0\\
  B = 1[/tex3]

Portanto, [tex3]A = -1.[/tex3] Agora que sabemos os valores de [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3] descobrimos a igualdade carteada.

Essa técnica dá pra fazer com qualquer polinômio, não só [tex3]n(n+1)[/tex3].

Atenciosamente
Prof. Caju
WebMaster TutorBrasil.com.br

[bigjohn]

Poxa Prof., muito legal mesmo essa técnica! Por acaso você sabe de alguma outra questão que possa utilziar esse método? De preferencia uma questao do ime/ita.
vlw

[Yuri]

Somatório se aprende na matéria de Números Binomiais, e como o nosso amigo Prof. disse carteação só na faculdade

Abraço,
Yuri.

[cajuADMIN]

Olá BigJohn,

Consegui achar uma questão de vestibular que envolva esta teoria, a de frações parciais.
Caiu no Vestibular da Ufrgs em 1989. Coloquei no fórum Pré-Vestibular: (UFRGS - 1989) Frações Parciais

Atenciosamente
Prof. Caju
WebMaster TutorBrasil.com.br