IME / ITA ⇒ (Escola Naval - 1990) Sistema Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

O sistema de equações [tex3]\{2x-y+3z=-1\\x+2y+3z=1\\4x-7y+3z=-5[/tex3]

(A) Não possui solução.
(B) Possui uma infinidade de soluções.
(C) Possui um número finito, maior que uma solução.
(D) Possui uma única solução, na qual o valor de [tex3]z[/tex3] é positivo.
(E) Possui uma solução, na qual o valor de [tex3]z[/tex3] é imaginário.

[Auto Excluído (ID: N/A)]

Letra B.

Aqui fica ruim de ficar manipulando matriz. Pesquisa sobre método de gauss jordan

[ALDRINMOD]

Master, na minha opinião, você postando somente a letra, do possível gabarito, não resolve a questão, eu acho que é isso um dos motivos que se criou a nova funcionalidade abaixo, justamente para mostrar as resoluções pela metade ou em partes.
Eu acho que quem não sabe a resolução não deveria postar respostas pela metade ou ficar dando dicas para se resolver, o que eu creio que não é esse o seu caso, Master. E valeu pela iniciativa.

http://www.tutorbrasil.com.br/forum/vie ... f=2&t=8702

Não esqueça que você não está resolvendo apenas para mim e sim para vários usuários que por ventura possam acessar este site.
Quando for postar respostas desse jeito, por favor, responda via Mensagem Privada.

Grato.

[Thadeu]

Beleza ALDRIN.

Calculando o determinante D:
[tex3]D=\left|\begin{array}{ccc}2\,\,\,\,\,\,-1\,\,\,\,\,\,3\\1\,\,\,\,\,\,\,2\,\,\,\,\,\,3\\4\,\,\,\,\,\,-7\,\,\,\,\,\,3\end{array}\right|=(12-12-21)-(24-3-42)=-21+21=0[/tex3]

Se [tex3]D=0[/tex3], indica que podem ocorrer duas situações:
a) Se o determinante de alguma das incógnitas for diferente de zero, o sistema é impossível
b) Se todos os determinantes das incógnitas forem nulos, o sistema, se tiver solução, será indeterminado

Calculando [tex3]D_x[/tex3]

[tex3]D_x=\left|\begin{array}{ccc}-1\,\,\,\,\,\,-1\,\,\,\,\,\,3\\1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2\,\,\,\,\,\,\,\,3\\-5\,\,\,\,\,\,-7\,\,\,\,\,\,3\end{array}\right|=(-6+15-21)-(-30+21-3)=-12+12=0[/tex3]

Calculando [tex3]D_y[/tex3]

[tex3]D_y=\left|\begin{array}{ccc}2\,\,\,\,\,\,-1\,\,\,\,\,\,3\\1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1\,\,\,\,\,\,3\\4\,\,\,\,\,\,\,\,5\,\,\,\,\,\,\,\,3\end{array}\right|=(6-12+15)-(12-3+30)=9-39=-30[/tex3]

Como [tex3]D_y\neq0[/tex3], o sistema é impossível, e com isso eu acredito que a resposta é letra A

Um abraço!

[Natan]

Disse tudo Aldrin!

enfim vamos começar calculando o determinante principal:

[tex3]D=\|\begin{array}{ccc} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & -7 & 3 \end{array}\|=-24+42+3+12-12-21=0[/tex3]

o que elimina a hipótese do sistema ser SPD, vamos então achar [tex3]D_x,\, D_y[/tex3] e [tex3]D_z:[/tex3]

[tex3]D_x=\|\begin{array}{ccc} -1 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ -5 & -7 & 3 \end{array}\|=-6+15-21+3-21+30=0[/tex3]

[tex3]D_y=\|\begin{array}{ccc} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & 3 \\ 4 & 5 & 3 \end{array}\|=6-12-15+3+30-12=0[/tex3]

[tex3]D_z=\|\begin{array}{ccc} 2 & -1 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 4 & -7 & -5 \end{array}\|=-20-4+7-5+14+8=0[/tex3]

e como [tex3]D=D_x=D_y=D_z=0[/tex3] o sistema é SPI, ou seja, possui infinitas soluções.

[fabit]

Pessoal, quando descobrem que D=0, a análise por meio de determinantes TERMINA.

Em outras palavras, NÃO PROSSIGAM com a Regra de Cramer como ferramenta de análise do sistema de equações.

A Regra de Cramer é um Teorema que diz respeito apenas a SPD ([tex3]D\neq0[/tex3]). Aplicá-lo como feito acima é semelhante a aplicar o Teorema de Pitágoras a um triângulo sem ângulo reto.

Tente com esse sistema: [tex3]\begin{cases}x+y+z=1\\x+y+z=2\\x+y+z=3\end{cases}[/tex3] Vocês vão encontrar SPI! Agora olhem bem pra ele. Se houver solução, ela prova que 1=2=3.

A análise que sempre dá certo é a do escalonamento:
2 -1 3 -1
1 2 3 1
4 -7 3 -5

Linha 2 pra cima (vira nova linha 1), antiga linha 1 subtrai dobro da nova linha 1, linha 3 subtrai dobro da nova linha 2:
1 2 3 1
0 -5 -3 -3
0 -5 -3 -3

Linha 3 subtrai linha 2:
1 2 3 1
0 -5 -3 -3
0 0 0 0 (SPI)

[Gustavo_HSAL]

Olá, colegas de fórum. Concordo plenamente com fabit quanto aos conceitos envolvidos no estudo de sistema de equações lineares. Por todo o período que tenho convivido com a Matemática Elementar, cansei de perceber que muitos estudantes, e até mesmo alguns professores mais desavisados, acreditam que a Regra de Cramer, que, como bem disse fabit, é tão-só um método de resolução de sistemas normais, seja uma ferramenta geral para julgar e discutir sistemas de equações lineares, o que, de fato, não é verdade. Infelizmente, essa mentira ainda é propagada por cerca de 80% dos livros-texto brasileiros de nível médio, que transmitem aos estudantes a falsa segurança de que essa regra, contrariando a teoria, é um método infalível de julgamento e de discussão.

Para solucionar a questão proposta, é possível utilizar o Teorema de Rouché-Capelli, um método infalível de julgamento e de discussão de sistemas lineares. Lembrando o Teorema de Kronecker e o conceito de característica de matriz e sendo [tex3]p[/tex3] a característica da matriz incompleta, [tex3]q[/tex3], a característica da matriz completa, e [tex3]n[/tex3], o número de incógnitas do sistema, são verdadeiras as seguintes implicações:

[tex3]\left\{ \begin{array}{l}
p = q = n \Rightarrow SLPD \\
p = q < n \Rightarrow SLPI \\
p \ne q \Rightarrow SLI \\
\end{array} \right.[/tex3]

Calculemos, então, a característica de cada uma das matrizes, ou seja, o valor da máxima ordem da submatriz de determinante não nulo de cada uma delas.

[tex3]MC = \left( \begin{array}{cccc}
2 & -1 & 3 & -1 \\
1 & 2 & 3 & 1 \\
4 & -7 & 3 & -5 \\
\end{array} \right)[/tex3] e [tex3]MI = \left( \begin{array}{ccc}
2 & -1 & 3 \\
1 & 2 & 3 \\
4 & -7 & 3 \\
\end{array} \right)[/tex3]

Orlando-se filas de modo a termos a submatriz de maior ordem, cujo determinante não seja nulo, descobrimos que há pelo menos uma de ordem 2 nas duas matrizes, visto que todas as de ordem 3 apresentam determinante nulo.
Ex.: [tex3]\left| \begin{array}{cc}
2 & -1 \\
1 & 2 \\
\end{array} \right| \ne 0[/tex3]

Portanto, sendo [tex3]n = 3[/tex3] e [tex3]p=q=2[/tex3], concluímos que [tex3]p=q<n[/tex3], ou seja, o sistema de equações lineares é possível e indeterminado.

P.S.: é interessante notar o sistema mostrado pelo fabit, que revela a falibilidade de usar a Regra de Cramer para julgar sistemas. Note-se, entretanto, que o Teorema de Rouché-Capelli demonstra que o sistema abaixo é, de fato, impossível.

[tex3]\left\{ \matrix{
x + y + z = 1 \hfill \cr
x + y + z = 2 \hfill \cr
x + y + z = 3 \hfill \cr} \right.
[/tex3]

É evidente perceber que a característica da matriz incompleta é igual a 1. A característica da matriz completa é, entretanto, igual a 2, visto que há, pelo menos, uma submatriz de ordem dois cujo determinante não é nulo.
Ex.:
[tex3]
\left| {\matrix{
1 & 2 \cr
1 & 3 \cr

} } \right| \ne 0
[/tex3]

Portanto,[tex3]p \ne q[/tex3] e o sistema é impossível.

Um abraço deste que vos escreve, e até outros tópicos.

[Gustavo_HSAL]

A alternativa correta é a letra bê, pois o sistema é possível e indeterminado (possui infinitas soluções).

[Natan]

Oi Gustava_HSAL,

não entendi o que você quis dizer com "característica da matriz", pode me explicar em outras palavras o que são p, q e n por favor?


quanto a você master, eu não vou levar a frente a sua discussão intriguenta e sem sentido. Se não for para acrescentar esse tópico as mensagens que postar aqui serão apagadas.

[Gustavo_HSAL]

Olá, Natan. Se possível, escreverei, ainda hoje à noite, um texto em formato PDF sobre o Teorema de Kronecker e o Teorema de Rouché-Capelli, explicando cuidadosamente alguns conceitos importantes. A remissão a alguns conceitos anteriores de Álgebra Matricial será sempre necessária. Em breve, publicá-lo-ei. Um abraço, e até outras mensagens.