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O sistema [tex3]\{\alpha.x+y+z=0\\x+\alpha.y+z=0\\x+y+\alpha.z=0[/tex3] admite soluções não triviais:

(A) somente para [tex3]\alpha=1[/tex3].
(B) para três valores reais e distintos de [tex3]\alpha[/tex3].
(C) para um valor real e dois valores complexos conjugados de [tex3]\alpha[/tex3].
(D) para [tex3]3[/tex3] valores reais de [tex3]\underline{\alpha}[/tex3], dos quais somente [tex3]2[/tex3] distintos.
(E) somente para valores naturais de [tex3]\alpha[/tex3].

Sistema homogêneo nunca é impossível, certo?

Aí você faz o determinante e analisa. Se for zero fica SPI, senão é SPD.

[tex3]\left|\begin{array}{ccc}\alpha&1&1\\1&\alpha&1\\1&1&\alpha\end{array}\right|=\alpha^3+2-3\alpha[/tex3]

Não esquenta que deu cúbica, porque sabemos que uma raiz é 1.

[tex3]\alpha^3-3\alpha+2=\alpha^3-1-3\alpha+3=(\alpha-1)(\alpha^2+\alpha+1)-3(\alpha-1)=...[/tex3]

[tex3]...=(\alpha-1)(\alpha^2+\alpha-2)=(\alpha-1)(\alpha+2)(\alpha-1)=(\alpha-1)^2(\alpha+2)[/tex3]

Então o valor do alfa que faz ficar SPI é 1 (duplicada) e -2 (simples).

Letra D