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Determine o valor numérico do polinômio [tex3]p(x)=x^{5}+5x^{4}+10x^{3}+10x^{2}+5x+2020[/tex3] para x = 89.

a) 5904912019
b) 5904922019
c) 5904902019
d) 5904952019
e) 5904602019

Olha amigo, o que dá para fazer aí é o seguinte:

[tex3]
p(x)=x^{5}+5x^{4}+10x^{3}+10x^{2}+5x+2020\\
p(x)={\color{PineGreen}x^{5}+5x^{4}+10x^{3}+10x^{2}+5x+1}+2019\\
p(x)={\color{PineGreen}(x+1)^5}+2019
[/tex3]

---

Logo:

[tex3]
p(89)=(89+1)^5+2019\\
p(89)=90^5+2019\\
p(89)=9^5\cdot10^5+2019
[/tex3]

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Intuitivamente:

Seja [tex3]N[/tex3] um número qualquer com algarismos [tex3]abcd[/tex3]
[tex3]N\cdot10^5+2019=abc\,d00\,000+2019[/tex3]

Logo, o número termina com: [tex3]02019[/tex3]

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Temos duas alternativas nesse padrão, mas note que, para [tex3]\mod 10[/tex3]

[tex3]
9^1\equiv-1\,(\mod10)\\
9^2\equiv+1\,(\mod10)\\
9^3\equiv-1\,(\mod10)\\
[/tex3]

Sendo [tex3]9^n[/tex3], se [tex3]n[/tex3] é ímpar, o último algarismos é [tex3]9[/tex3], temos então que a resposta termina com:


[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{X\!X\!X\!X902019}[/tex3]

[tex3]\underline{\color{MidNightBlue}\mbox{Alternativa C}}[/tex3]

Considerando que é Ensino Médio, eu não sei se você já aprendeu [tex3]\mod[/tex3], mas é basicamente o resto, no caso, [tex3]\mod10[/tex3] é o resto do número quando dividido por 10. Outra forma, intuitiva, que você poderia entender seria apenas olhando a unidade dos números:

[tex3]
9^1={\color{Red}9}\\
9^2=8{\color{Red}1}\\
9^3=78{\color{Red}9}\\
[/tex3]

E no caso, [tex3]9\equiv-1\,(\mod10)[/tex3]