Concursos Públicos ⇒ (CESPE/UnB - MPU) Geometria Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Um desenhista imaginou uma taça de vinho, cuja seção transversal é mostrada abaixo.

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Na figura, [tex3]ABCD[/tex3] é um quadrado e os arcos [tex3]\hat{AC}[/tex3] e [tex3]\hat{BD}[/tex3] são quartos de circunferências de mesmo raio. E é a intersecção dos arcos arcos [tex3]\hat{AC}[/tex3] e [tex3]\hat{BD}[/tex3]. Considerando essas informações, assinale a opção incorreta.

(A) A área do setor circular [tex3]ABE[/tex3] - delimitada pelos segmentos [tex3]\overline{AB}[/tex3] e [tex3]\overline{AE}[/tex3] e pelo arco [tex3]\hat{DE}[/tex3] - é igual a [tex3]\frac{\pi(\overline{AB})^2}{6}[/tex3].
(B) A área da região [tex3]DEF[/tex3] - delimitada pelos segmentos [tex3]\overline{DF}[/tex3] e [tex3]\overline{FE}[/tex3] e pelo arco [tex3]\hat{DE}[/tex3] - é igual à metade da área da região limitada pelo segmento [tex3]\overline{AE}[/tex3] e pelo arco [tex3]\hat{AE}[/tex3].
(C) A razão entre os comprimentos dos arcos [tex3]\hat{AC}[/tex3] e [tex3] \hat{EC} [/tex3] é igual a [tex3]4[/tex3].
(D) Os arcos [tex3] \hat{EC} [/tex3] e [tex3]\hat{ED}[/tex3] têm o mesmo comprimento.
(E) A área das regiões sombreadas [tex3](I+II)[/tex3] é igual à soma da área do retângulo [tex3]FGCD[/tex3] com a área do setor circular [tex3]ABE[/tex3].

[adrianotavares]

Olá, Aldrin.

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O [tex3]\Delta AEB[/tex3] é equilátero, o arco [tex3]\hat{AC}[/tex3] é formado por um ângulo de [tex3]90^\circ[/tex3], já o arco [tex3]\hat{EC}[/tex3] é formado por um ângulo de [tex3]30^\circ[/tex3]. Como o comprimento do arco é proporcional ao ângulo, conclui-se que a razão entre ele é:


[tex3]\frac{\hat{AC}}{\hat{EC}}= \frac{90^\circ}{30^\circ} \Rightarrow \frac{\hat{AC}}{\hat{EC}}= 3[/tex3]

Uma outra maneira de resolver seria a seguinte:

O comprimento do arco [tex3]\hat{AC}[/tex3] corresponde a [tex3]\frac{1}{4}[/tex3] do comprimento da circunferência e o arco [tex3]\hat{EC}[/tex3] corresponde a [tex3]\frac{1}{12}[/tex3], fazendo a razão entre eles também encontraríamos [tex3]3.[/tex3]

Alternativa: C