Olimpíadas ⇒ POTI - Teoremas de Euler, Fermat e Wilson

[goncalves3718]

Mostre que [tex3]a^{12} \equiv b^{12} (mod \,91) [/tex3] ⇐⇒ [tex3]mdc(a,91)= mdc(b,91)[/tex3]

O que eu fiz:

Resposta

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[tex3]91 = 7 \cdot 13[/tex3] e pelo Teorema de Euler-Fermat:

[tex3]a^6 \equiv 1 ( mod\,7) \implies a^{12} \equiv 1 (mod \,\ 7)[/tex3]
[tex3]a^{12} \equiv1 (mod \,\, 13)[/tex3]

Assim [tex3]a^{12} \equiv 1 (mod \,\,91)[/tex3]

Como [tex3]a^{12} \equiv b^{12} ( mod \,\, 91) [/tex3] segue que [tex3]b^{12} = 1 \implies \boxed{b=1}[/tex3]

Então temos que provar que [tex3]mdc(a,91) = mdc(b,91) \implies mdc(a,91) = 1[/tex3]

Podem me ajudar?
Após isso provar a volta também