Olimpíadas ⇒ (EUA) Equações Funcionais POTI Tópico resolvido

[GSazevedo]

Seja [tex3]f[/tex3] uma função satisfazendo [tex3]f(xy)=\frac{f(x)}{y}[/tex3] para todos os números reais positivos [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3]. Se [tex3]f(500)=3[/tex3], qual o valor de [tex3]f(600)[/tex3]?
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Minha solução deu [tex3]f(600)= \frac{5}{2}[/tex3], mas não tenho o gabarito comigo, então quero confirmar com alguém

[Ittalo25MOD]

Fazendo: [tex3]x=\frac{500}{y}[/tex3]

[tex3]f(xy)=\frac{f(x)}{y}[/tex3]
[tex3]f(\frac{500}{y}\cdot y)=\frac{f(\frac{500}{y})}{y}[/tex3]
[tex3]f(500)=\frac{f(\frac{500}{y})}{y}[/tex3]
[tex3]3y=f(\frac{500}{y})[/tex3]

Fazendo [tex3]y = \frac{500}{600}[/tex3]

[tex3]3y=f(\frac{500}{y})[/tex3]
[tex3]3 \cdot \frac{500}{600}=f(\frac{500}{\frac{500}{600}})[/tex3]
[tex3]3 \cdot \frac{500}{600}=f(600)[/tex3]
[tex3]\frac{5}{2}=f(600)[/tex3]

[Auto Excluído (ID: 25040)]

de outra maneira
[tex3]500 = 100\cdot5\\
600 = 100\cdot6[/tex3]
então [tex3]f(600)=f(100\cdot6) = {f(100)\over6}[/tex3]
então se descobrirmos f(100) matamos o problema
[tex3]3=f(500) = {f(100)\over5}[/tex3]
então [tex3]f(100) = 15[/tex3] e portanto
[tex3]f(600) = {15\over6}={5\over2}[/tex3]

[GSazevedo]

valeu gente! fiz que nem o null

[JhonJhon]

Achei outra forma interessante:

Fazendo [tex3]f(500 \times 600) = \frac{f(500)}{600}=\frac{f(600)}{500}[/tex3]

[tex3]\therefore \frac{3}{600} = \frac{f(600)}{500}[/tex3]

Fazendo f(600) = k, teremos:

[tex3]3 \times 500 = k \times 600 => 3 \times 5 = k \times 6 => 15 = 6k[/tex3]

[tex3]\therefore k = 5/2[/tex3]