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Seja [tex3]f : \mathbb{R_+ ^*} \rightarrow \mathbb{R} [/tex3] uma função satisfazendo uma equação funcional

[tex3]f(a)+f(b) = f(ab) , \forall a,b \in \mathbb{R_+^*}[/tex3]

Mostre que:

a) [tex3]f(1) = 0[/tex3]

b) [tex3]f(a^n) = n \cdot f(a) , \, \forall a \in \mathbb{R_+^*} , \, \forall n \in \mathbb{N}[/tex3]

c) [tex3]f\left(\dfrac{1}{a} \right)= - f(a), \forall a \in \mathbb {R_+^*}[/tex3].

a) Sendo [tex3]a=b = 1 [/tex3]:

[tex3]f(1)+f(1) = f(1) \implies 2f(1) = f(1) \implies 2f(1) - f(1) = 0 \implies \boxed{f(1)=0}[/tex3]

b) Provaremos por indução que a equação funcional acima vale para um número [tex3]k[/tex3] de termos:

Tese: [tex3]f(a_1) + f(a_2) + f(a_3) + \cdots + f(a_k) = f(a_1a_2a_3\cdots a_k)[/tex3]

Hipótese de Indução: [tex3]f(a_1) + f(a_2) + \cdots + f(a_k) + f(a_{k+1}) = f(a_1a_2 \cdots a_ka_{k+1})[/tex3]

Como [tex3]f(a_1) + f(a_2) + f(a_3) + \cdots + f(a_k) = f(a_1a_2a_3\cdots a_k)[/tex3]

[tex3]f(a_1)+f(a_2) + \cdots f(a_k) + f(a_{k+1}) = f(a_1a_2\cdots a_k) + f(a_{k+1})[/tex3]

Utilizando o enunciado com [tex3]a= a_1a_2\cdots a_k[/tex3] e [tex3]b= a_{k+1}[/tex3], segue que:

[tex3]f(a_1a_2\cdots a_k) + f(a_{k+1}) = f(a_1a_2\cdots a_ka_{k+1})[/tex3] como queríamos provar!

Dessa forma:

[tex3]f(a^n) = f(\underbrace{a\cdot a \cdots a}_{\text{n vezes}} ) =\underbrace{f(a)+f(a) + \cdots+f(a)}_{\text{n vezes = n }} = n \cdot f(a)[/tex3]

c) Podemos estabelecer a seguinte relação:

[tex3]f(a) + f \left(\dfrac{1}{a} \right) = f\left(a \cdot\dfrac{1}{a} \right) = f(1) =0[/tex3]


Como [tex3]f(a) + f \left(\dfrac{1}{a} \right) = 0 \implies f\left( \dfrac{1}{a}\right) = - f(a)[/tex3].