Estude! Com Prof. Caju

SEJA P(x) UM POLINOMIO TAL QUE QUANDO DIVIDIDO POR x-19 DEIXA RESTO 99 E QUANDO DIVIDIDO POR x-99 DEIXA RESTO 19 . O RESTO DA DIVISÃO DE P(x) POR (x-19)(x-99) e iqual a :

A)-X+80
B)X+80
C)-X+118
D)X+118
E)0

Oi,

é facil notar que o resto da divisão de [tex3]P(x)[/tex3] por [tex3](x-19)(x-99)[/tex3] é da forma [tex3]R(x)=ax+b[/tex3] e portanto vale a relação:

[tex3]P(x)=(x-19)(x-99)+ax+b[/tex3]

como o resto da divisão de [tex3]P(x)[/tex3] por [tex3](x-19)[/tex3] é [tex3]99[/tex3] então [tex3]P(19)=99[/tex3] e logo:

[tex3]P(19)=(19-19)(19-99)+a19+b=99 \Rightarrow 19a+b=99[/tex3] (I)

analogamente, como o resto da divisão de [tex3]P(x)[/tex3] por [tex3](x-99)[/tex3] é [tex3]19[/tex3] então [tex3]P(99)=19[/tex3] e logo:

[tex3]P(99)=(99-19)(99-99)+a99+b=19 \Rightarrow 99a+b=19[/tex3] (II)

unindo (I) e (II) temos o sistema:

[tex3]\{19a+b=99\\99a+b=19[/tex3] cuja solução é [tex3]a=-1[/tex3] e [tex3]b=118[/tex3]


logo [tex3]R(x)=-x+118[/tex3]