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Seja z um número complexo da forma [tex3]z=a+bi[/tex3], no qual [tex3]i[/tex3] é a unidade imaginária. Seja [tex3]K\in\mathbb{R} [/tex3] de modo que [tex3]K[/tex3] é o menor limitante superior para , quando [tex3]|Z|=2[/tex3].
Sendo assim, assinale a opção que apresenta o intervalo ao qual [tex3]K[/tex3] pertença.

A) [tex3][0,1][/tex3]
B) [tex3][1,\frac{3}{2}][/tex3]
C) [tex3][\frac{1}{2},1][/tex3]
D) [tex3][\frac{3}{2},2][/tex3]
E) [tex3][2,3][/tex3]

O enunciado tá incompleto, após "limitante superior para" deveria ter [tex3]\left| -1\over z^4+3z^2+2\right|[/tex3].

Seja [tex3]K[/tex3] o limitante superior da expressão [tex3]\left| -1\over z^4+3z^2+2\right|[/tex3]. O valor máximo atingido pela fração é dado pelo valor mínimo do denominador. Para encontrar este, vamos começar fatorando o denominador:
[tex3]\left|z^4+3z^2+2\right|[/tex3]
[tex3]\left|z^4+z^2+2z^2+2\right|[/tex3]
[tex3]\left|z^2(z^2+1)+2(z^2+1)\right|[/tex3]
[tex3]\left|(z^2+2)(z^2+1)\right|[/tex3]
[tex3]\left|z^2+2\right|\left|z^2+1\right|[/tex3]
Vamos encontrar o valor individual de cada termo utilizando desigualdade triangular:

[tex3]||x|-|y||\leq|x+y|\leq |x|+|y|, ~~~\forall ~x,y\in\mathbb{C}[/tex3]

Vamos usar a inequação da esquerda:
[tex3]||z^2|-|2||\leq|z^2+2|[/tex3]
[tex3]||z|^2-|2||\leq|z^2+2|[/tex3]
Sabemos do enunciado que [tex3]|z|=2[/tex3], então:
[tex3]|2^2-2|\leq|z^2+2|[/tex3]
[tex3]2\leq|z^2+2|[/tex3]
Analogamente:
[tex3]3\leq|z^2+1|[/tex3]
Multiplicando ambas as inequações temos:
[tex3]6\leq|z^2+2||z^2+1|[/tex3]
[tex3]{1\over6}\geq{1\over|z^2+2||z^2+1|}[/tex3]
Portanto, [tex3]k={1\over 6}[/tex3]. Então [tex3]k\in[0,1][/tex3] (Opção A).