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Bom dia

Verifique se a função a seguir, satisfaz a equação de derivadas parciais dada.

Observe

Uma solução:

Basta aplicar a regra da derivada do quociente, fica;

[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{x'.(x^2+y^2+z^2)-x.(x^2+y^2+z^2)'}{(x^2+y^2+z^2)^2}= \frac{1.(x^2+y^2+z^2)-x.(2x+0+0)}{(x^2+y^2+z^2)^2}[/tex3]

Logo,

[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}= \frac{-x^2+y^2+z^2}{(x^2+y^2+z^2)^2}[/tex3].


[tex3]\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{x'.(x^2+y^2+z^2)-x.(x^2+y^2+z^2)'}{(x^2+y^2+z^2)^2}= \frac{0.(x^2+y^2+z^2)-x.(0+2y+0)}{(x^2+y^2+z^2)^2}[/tex3]

Logo,

[tex3]\frac{\partial f}{\partial y}= \frac{-2xy}{(x^2+y^2+z^2)^2}[/tex3].



[tex3]\frac{\partial f}{\partial z}=\frac{x'.(x^2+y^2+z^2)-x.(x^2+y^2+z^2)'}{(x^2+y^2+z^2)^2}= \frac{0.(x^2+y^2+z^2)-x.(0+0+2z)}{(x^2+y^2+z^2)^2}[/tex3]

Logo,

[tex3]\frac{\partial f}{\partial z}= \frac{-2xz}{(x^2+y^2+z^2)^2}[/tex3].


Então,

[tex3]x.\frac{\partial f}{\partial x} + y.\frac{\partial f}{\partial y} + z.\frac{\partial f}{\partial z} = x.\frac{(-x^2+y^2+z^2)}{(x^2+y^2+z^2)^2} + y.\frac{(-2xy)}{(x^2+y^2+z^2)^2} + z.\frac{(-2xz)}{(x^2+y^2+z^2)^2}[/tex3]

Desenvolvendo, resulta

[tex3]x.\frac{\partial f}{\partial x} + y.\frac{\partial f}{\partial y} + z.\frac{\partial f}{\partial z} = \frac{-x.\cancel{(x^2+y^2+z^2)}}{(x^2+y^2+z^2).\cancel{(x^2+y^2+z^2)}}[/tex3]

[tex3]x.\frac{\partial f}{\partial x} + y.\frac{\partial f}{\partial y} + z.\frac{\partial f}{\partial z} = - \frac{x}{x^2+y^2+z^2} = -f[/tex3].


Portanto, podemos concluir que não satisfaz e [tex3]\frac{\partial f}{\partial z}= \frac{-2xz}{(x^2+y^2+z^2)^2}[/tex3] , alternativa d).



Excelente estudo!