Olimpíadas ⇒ Romênia - Geometria Plana Tópico resolvido

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(Romênia) Sejam ABC um triângulo isósceles com AB = AC, D o ponto
médio de BC, M o ponto médio de AD e N a projeção de D sobre BM. Prove que ∠ANC = 90º
gostaria de uma solução por plana, já vi uma usando analítica

.

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Essa deu trabalho, quase 3 horas

- <NBD = <NDM. Isso é fácil de ver já que: <NDM+<NDB = 90° e <NDB+<NBD = 90°.
- Rotacionando o triângulo DCA ele é transformado no triângulo FCA. Obviamente FDAC é inscritível: <CDA+<CFA = 90°+90°
- Agora veja que: MA=MD, BD=FA, MB=MF (Pitágoras). Ou seja, MFA e MDB são congruentes.
- Disso sai <FMA = <DMB (F,M,N e B são colineares)
- E o mais importante: <MBD = <NBD = <NDM = <AFM = <AFN, resumindo <NDM = AFN, ou seja, FDAN é inscritível.
- Como FDAC e FDAN são inscritíveis, então ANCD é inscritível. Aqui usei o fato de que 3 pontos determinam uma única circunferência, nesse caso os pontos FDA.
- Como ANCD é inscritível, então <CDA = <ANC = 90°

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que solução incrível, desculpa a demora para validar ela

[geobson]

Muito bom......questão legal.