Ensino Médio ⇒ Quadrado - Construções com régua e compasso Tópico resolvido

[Hanon]

Na figura a seguir [tex3]ABCD[/tex3] é um quadrado, sendo [tex3]BC[/tex3] o diâmetro da semicircunferência em destaque.

Quadrado.png (11.43 KiB) Exibido 1733 vezes

1) Construir a semicircunferência com diâmetro em [tex3]AB[/tex3] que seja tangente à semicircunferência azul;
2) Construir a circunferência tangente a [tex3]AD, \ DC[/tex3] e a semicircunferência em azul;

[FelipeMartinMOD]

a-) Esse primeiro na real tem infinitas soluções, basta pegar um ponto [tex3]X[/tex3] qualquer em [tex3]AB[/tex3], conectar com [tex3]M[/tex3] e você pode construir um círculo tangente ao semicírculo. Vou te dar o que passa por [tex3]A[/tex3]:

- Seja [tex3]M[/tex3] o ponto médio de [tex3]BC[/tex3].
- Trace [tex3]r \parallel AB[/tex3] por [tex3]M[/tex3]
- Seja [tex3]E[/tex3] o ponto em [tex3]r[/tex3] e na semicircunferência.
- Seja [tex3]E'[/tex3] o reflexo de [tex3]E[/tex3] em [tex3]M[/tex3].
- Seja [tex3]F[/tex3] o encontro da reta [tex3]E'A[/tex3] com a semicircunferência.
[tex3]O = MF \cap AB[/tex3] então o círculo que você quer é [tex3]\odot(O,OA)[/tex3]. Veja se você enxerga o porquê.

b-) esse é mais complicado, precisa de umas continhas ou apelar pra inversão ou para o problema de apolônio LLC não vejo uma forma fácil de construí-lo.
O problema de apolônio demora muito pra descrever e envolve refletir o semicírculo na diagonal DB.

Se tem uma saída simples eu não estou vendo

[FelipeMartinMOD]

tá, veja se esse aqui funciona:

- Seja [tex3]N[/tex3] o ponto que divide [tex3]BC[/tex3] na razão [tex3]2:1[/tex3] (reflita [tex3]AD[/tex3] em [tex3]BC[/tex3] e depois [tex3]BC[/tex3] em [tex3]A'D'[/tex3] então [tex3]N=AC' \cap CB[/tex3])
- Seja [tex3]T[/tex3] o ponto no semicírculo e no segmento [tex3]ND[/tex3]
- Seja [tex3]G = BT \cap DC[/tex3]
O centro do círculo que você quer é o encontro da paralela a [tex3]BC[/tex3] por [tex3]G[/tex3] com [tex3]MT[/tex3] e ele passa por [tex3]G[/tex3]

[Hanon]

Que show!!! As duas deram certo!

Primeiro Problema.png (29.64 KiB) Exibido 1706 vezes

Segundo Problema.png (50.8 KiB) Exibido 1706 vezes

Quero entender o prq dá certo:
No primeiro problema: Por que vc tomou o reflexo de [tex3]E[/tex3] com relação à [tex3]M[/tex3]? e Por que [tex3]F=AE'\cap\odot(M,MC)[/tex3] é o ponto de tangência e [tex3]MF[/tex3] passa pelo centro?

No segundo problema: Por que ao tomar [tex3]N[/tex3] sobre [tex3]BC[/tex3] na razão [tex3]2:1[/tex3] com [tex3]T=ND\cap\odot(M,MC)[/tex3] dá um ponto de tangência e o prolongamento de [tex3]BT[/tex3] com [tex3]DC[/tex3] dá outro ponto de tangência?
Qual a justificativa de ao tomar a paralela a [tex3]BC[/tex3] por [tex3]G[/tex3] intersecção com [tex3]MT[/tex3] dá o centro da circunferência?

[FelipeMartinMOD]

A primeira é por homotetia. O ponto [tex3]E'[/tex3] tem a reta tangente paralela a reta tangente em [tex3]A[/tex3] no círculo que queremos, logo eles são pontos homólogos e por isso a reta conectando-os passa pelo centro de homotetia (no caso interna) entre os círculos desejados. Este centro de homotetia é o ponto de contato entre os círculos tangentes entre si, logo o ponto [tex3]F[/tex3] é o ponto de contato entre os dois círculos.

A segunda também é por homotetia, utilizei o teorema de D'Lambert: que diz que quando temos três homotetias que quando compostas voltem a configuração original então temos que os centros dessas homotetias são colineares.
Considere o círculo [tex3]\odot(B,BC)[/tex3] este círculo é homotético com o círculo que queremos desenhar por [tex3]D[/tex3] (pois é o encontro das retas tangentes comuns aos círculos).
Este círculo é homotético ao círculo que corresponde ao semicírculo azul pelo ponto [tex3]N[/tex3] pois os raios destes dois círculos estão na razão 2:1 e N está na reta que une seus centros.
Por fim o círculo correspondente ao semicírculo é homotético ao que queremos desenhar por [tex3]T[/tex3], seu ponto de contato. Logo, T,D e N são alinhados, e com o ponto de contato fica fácil traçar o círculo que queremos. Tem umas 3 formas diferentes de achar o centro dele eu te passei uma delas.

[Hanon]

Muito Obrigado FelipeMartin.

Outro detalhe: determinei o ponto [tex3]N[/tex3] usando o teorema de Tales, não conhecia essa maneira que vc fez.

[FelipeMartinMOD]

o teorema de Tales é a forma genérica, neste caso é possível economizar clicks no geogebra fazendo o que eu fiz. Acho que é o ponto N que você encontrou né?

[Hanon]

o teorema de Tales é a forma genérica, neste caso é possível economizar clicks no geogebra fazendo o que eu fiz.

Economiza bastante!

Acho que é o ponto N que você encontrou né?

Exatamente! digitei errado.