Olimpíadas ⇒ (Olimpíada de Maio - 2002) Geometria plana Tópico resolvido

[matbatrobin]

Seja [tex3]ABCD[/tex3] um retângulo de lados [tex3]AB=4[/tex3] e [tex3]BC=3[/tex3]. A perpendicular à diagonal [tex3]BD[/tex3] traçada por [tex3]A[/tex3] corta [tex3]BD[/tex3] no ponto [tex3]H[/tex3]. Chamemos de [tex3]M[/tex3] o ponto médio de [tex3]BH[/tex3] e [tex3]N[/tex3] o ponto médio de [tex3]CD[/tex3]. Calcule a medida do segmento [tex3]MN[/tex3].

[adrianotavares]

Olá, matbatrobin.

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Aplicando Pitágoras no [tex3]\Delta ABD[/tex3] teremos:

[tex3]DB= 5[/tex3]

Os triângulos [tex3]ABD[/tex3] e [tex3]DHA[/tex3] são semelhantes.

[tex3]\frac{DB}{DA}= \frac{DA}{DH}[/tex3]

[tex3]\frac{5}{3}= \frac{3}{DH} \Rightarrow DH= 1,8[/tex3]

[tex3]HB= DB- DH \Rightarrow HB= 5-1,8 \Rightarrow HB= 3,2[/tex3]

[tex3]HM= \frac{HB}{2} \Rightarrow HM= 1,6[/tex3]

[tex3]DM= DH+ HM \Rightarrow DM= 3,4[/tex3]

Os triângulos [tex3]CBD[/tex3] e [tex3]DMP[/tex3] são semelhantes.

[tex3]\frac{DM}{DB}= \frac{DP}{DC}[/tex3]

[tex3]\frac{3,4}{5}= \frac{2+NP}{4} \Rightarrow NP= 0,72[/tex3]

Os triângulos [tex3]CBD[/tex3] e [tex3]DMP[/tex3] são semelhantes.

[tex3]\frac{DM}{DB}= \frac{MP}{BC}[/tex3]

[tex3]\frac{3,4}{5}= \frac{MP}{3} \Rightarrow MP= 2,04[/tex3]

Aplicando Pitagoras no [tex3]\Delta PMN[/tex3] teremos:

[tex3]0,72= \frac{18}{25}[/tex3]

[tex3]2,04= \frac{51}{25}[/tex3]

[tex3](MN)^2= (NP)^2 + (MP)^2[/tex3]

[tex3](MN)^2= \frac{324+2601}{625}[/tex3]

[tex3](MN)^2= \frac{2925}{625}[/tex3]

[tex3](MN)^2= \frac{117}{25}[/tex3]

[tex3](MN)^2= \sqrt{\frac{117}{25}}[/tex3]

[tex3]MN= \frac{\sqrt{117}}{5}[/tex3]