Ensino Superior ⇒ Cálculo de várias variáveis, máximo e mínimo Tópico resolvido

[nepsio]

Laranjeiras do interior de São Paulo produzem 600 laranjas por ano, se forem plantadas no máximo 60 árvores por hectare (10.000m²)cada árvore plantada a mais causa um decréscimo de 15 laranjas por pé. Quantas árvores devem ser plantadas por hectares para se obter o maior número de laranjas?

[baltuilhe]

Boa noite!

Equação da produção por quantidade de árvores 'x' além das 60:
[tex3]P(x)=(60+x)\cdot(600-15x)[/tex3]
[tex3]P(x)=(60+x)\cdot 15(40-x)[/tex3]
[tex3]P(x)=15(60+x)(40-x)[/tex3]

Derivando, para obter os pontos críticos:
[tex3]P'(x)=15[(60+x)'(40-x)+(60+x)(40-x)'][/tex3]
[tex3]P'(x)=15[(40-x)+(60+x)(-1)][/tex3]
[tex3]P'(x)=15(40-x-60-x)=15(-20-2x)[/tex3]

Para encontrarmos um ponto de máximo/mínimo, P'(x)=0, então:
[tex3]-20-2x=0[/tex3]
[tex3]x=-10[/tex3]

Analisando o sinal da derivada:
x<-10 ==> P'(x)>0 ==> função CRESCENTE
x=-10 ==> P'(x)=0 ==> ponto de MÁXIMO
x>10 ==> P'(x)<0 ==> função DECRESCENTE

Então, plantando-se 60+x=60-10=50 árvores por hectare, a produção será de 600-15(-10)=600+150=750 laranjas por pé, dando maior número de laranjas possível!
[tex3]P(-10)=15(60-10)(40-(-10))=15(50)(50)=15(2\,500)=37\,500[/tex3]

Espero ter ajudado!